सांख्यिकी - ब्लैक-स्कोल्स मॉडल

ब्लैक स्कोल्स मॉडल एक गणितीय मॉडल है जो वित्तीय साधनों जैसे स्टॉक के समय में मूल्य भिन्नता की जांच करता है जिसका उपयोग यूरोपीय कॉल विकल्प की कीमत की गणना करने के लिए किया जा सकता है। यह मॉडल मानता है कि जिन परिसंपत्तियों की कीमत बहुत अधिक होती है, वे एक ज्यामितीय ब्राउनियन गति के बाद एक निरंतर बहाव और अस्थिरता होती हैं। स्टॉक विकल्प के मामले में, ब्लैक स्कोल्स मॉडल में अंतर्निहित स्टॉक की निरंतर कीमत भिन्नता, पैसे का समय मूल्य, विकल्प की स्ट्राइक मूल्य और समाप्ति के समय शामिल है।

ब्लैक स्कोल्स मॉडल को 1973 में फिशर ब्लैक, रॉबर्ट मर्टन और मायरोन स्कोल्स द्वारा विकसित किया गया था और अब भी व्यापक रूप से यूपोरियन वित्तीय बाजारों में उपयोग किया जाता है। यह विकल्पों में से उचित मूल्य निर्धारित करने का सबसे अच्छा तरीका प्रदान करता है।

इनपुट

ब्लैक स्कोल्स मॉडल को पांच इनपुट की आवश्यकता होती है।

एक विकल्प की स्ट्राइक प्राइस
वर्तमान स्टॉक मूल्य
समाप्ति का समय
जोखिम मुक्त दर
Volatility

मान्यताओं

ब्लैक स्कोल्स मॉडल निम्नलिखित बिंदुओं को मानता है।

स्टॉक की कीमतें एक सामान्य वितरण का पालन करती हैं।
एसेट की कीमतें नकारात्मक नहीं हो सकती हैं।
कोई लेनदेन लागत या कर नहीं।
जोखिम-मुक्त ब्याज दर सभी परिपक्वताओं के लिए स्थिर है।
आय के उपयोग के साथ प्रतिभूतियों की कम बिक्री की अनुमति है।
कोई जोखिम रहित मध्यस्थता का अवसर मौजूद नहीं है।

सूत्र

${ C = SN(d_1) - Ke^{-rT}Nd_2 \\[7pt] \, P = Ke^{-rT}N(-d_2) - SN(-d_1) \\[7pt] \, where \\[7pt] \, d_1 = \frac{1}{{\sigma \sqrt T}} [ln(\frac{S}{K}) + (r + \frac{\sigma^2}{2}T)] \\[7pt] \, d_2 = d_1 - \sigma \sqrt T }$

कहाँ -

${C}$ = कॉल विकल्प का मूल्य।
${P}$ = पुट ऑप्शन का मूल्य।
${S}$ = स्टॉक मूल्य।
${K}$ = स्ट्राइक प्राइस।
${r}$ = जोखिम मुक्त ब्याज दर।
${T}$ = परिपक्वता का समय।
${\sigma}$ = वार्षिक अस्थिरता।

सीमाओं

ब्लैक स्कोल्स मॉडल की निम्नलिखित सीमाएँ हैं।

केवल यूरोपीय विकल्पों पर ही लागू होता है क्योंकि उनकी समाप्ति से पहले अमेरिकी विकल्पों का प्रयोग किया जा सकता था।
लगातार लाभांश और निरंतर जोखिम मुक्त दरों से संबंधित नहीं हो सकता है।
अस्थिरता आपूर्ति के स्तर के साथ उतार-चढ़ाव हो सकती है और विकल्प की मांग इस प्रकार स्थिर नहीं हो सकती है।