सांख्यिकी - संभाव्यता योज्य प्रमेय

पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाओं के लिए

संभाव्यता का योगात्मक प्रमेय बताता है कि यदि A और B दो परस्पर अनन्य घटनाएँ हैं तो A या B की प्रायिकता द्वारा दी गई है

$ {P (A \ or \ B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] P (A \ cup B) = P (A) + P (B)} $

प्रमेय वह तीन परस्पर अनन्य घटनाओं के रूप में भी विस्तारित किया जा सकता है

$ {P (A \ cup B \ cup C) = P (A) + P (B) + P (C)} $

उदाहरण

Problem Statement:

एक कार्ड 52 के पैक से तैयार किया गया है, क्या संभावना है कि यह एक राजा या रानी है?

Solution:

आज्ञा देना घटना (ए) = राजा का एक कार्ड ड्रा

घटना (बी) रानी के कार्ड का ड्रा

P (कार्ड ड्रा राजा या रानी है) = P (कार्ड राजा है) + P (कार्ड रानी है)

$ {P (A \ cup B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] = \ frac {4} {52} + \ frac {4} {52} \\ [7pt] = \ frac {१} {१३} + \ frac {१} {१३} \\ [= वीं] = \ frac {२} {१३}} $

नॉन-म्युचुअल एक्सक्लूसिव इवेंट्स के लिए

यदि दोनों घटनाओं के घटित होने की संभावना है तो योज्य प्रमेय को इस प्रकार लिखा जाता है:

$ {P (A \ or \ B) = P (A) + P (B) - P (A \ and \ B) \\ [7pt] P (A \ cup B) = P (A) + P (B) ) - पी (एबी)} $

उदाहरण

Problem Statement:

एक निशानेबाज को 7 में से 3 निशाने लगाने के लिए जाना जाता है; whet एक और निशानेबाज को 5 में से 2 निशाने मारने के लिए जाना जाता है। उन दोनों के प्रयास करने पर लक्ष्य के हिट होने की संभावना का पता लगाएं।

Solution:

लक्ष्य P (A) = $ {\ frac {3} {7}} $ से टकराने वाले पहले निशानेबाज की संभावना

दूसरे निशानेबाज की संभावना टारगेटिंग P (B) = $ {\ frac {2} {5}} $ मारती है

इवेंट ए और बी परस्पर अनन्य नहीं हैं क्योंकि दोनों निशानेबाज निशाने पर हो सकते हैं। इसलिए योज्य नियम लागू है

$ {P (A \ cup B) = P (A) + P (B) - P (A \ cap B) \\ [7pt] = \ frac {3} {7} + \ frac {2} {5} - (\ frac {3} {7} \ टाइम्स \ frac {2} {5}) \\ [7pt] = \ frac {29} {35} - \ frac {6} {35} \\ [7pt] = \ frac {23} {35}} $