Idempoten Pusat Primitif

Question

Saya membaca bukti dari teorema ini dan ada satu bagian yang sedikit mengganggu saya. Teorema dan bukti bagian itu (disorot), di bawah ini.

Bukti Bagian yang Disorot:

Definisi, diberikan dalam teks, dari elemen idempoten pusat primitif $e$ adalah jika $e$ adalah pusat dan tidak memiliki dekomposisi yang tepat sebagai jumlah elemen idempoten pusat ortogonal.

Bagian yang membuatku bingung adalah aku tidak mengerti bagaimana caranya $e = e e_i + e(1-e_i)$ menyiratkan itu $ee_i = e_i$ atau $ee_i = 0$. Sepertinya penulis menggunakan fakta itu$e$ adalah idempoten pusat primitif untuk menyimpulkan ini tetapi dalam pernyataan yang kami asumsikan saja $e$ adalah idempoten sentral.

Juga, asumsikan itu $e$ adalah idempoten pusat primitif, maka $e = e e_i + e(1-e_i)$ akan menyiratkan itu juga $ee_i = 0$ atau $e(1-e_i) = 0 $ tapi ini menyiratkan itu $e = ee_i$ meskipun.

Mungkin saya melewatkan beberapa hal sepele di sini tetapi saya tidak melihatnya.

Terima kasih semua.

Answer 1

Saya tidak yakin apakah pengarangnya salah ketik atau saya yang melewatkan sesuatu, tetapi kita bisa menulis

$$e_i=ee_i+(1-e)e_i.$$

Ini adalah jumlah dari idempotensi pusat ortogonal, dan sejak $e_i$primitif, salah satu suku nilainya nol. Jadi baiklah$ee_i=0$ atau $(1-e)e_i=0$, dalam hal ini $e_i=ee_i$.