Involusi gabus Akbulut

Question

Gabus Akbulut adalah manifold Mazur $W$ ditunjukkan pada gambar di bawah ini,

Lipatan ini membawa sebuah involusi dari batasnya $f:\partial W\to \partial W$ yang menukar meridian kurva berbingkai 0 dengan meridian kurva titik-titik.

Dalam Akbulut - lipatan 4 , penulis mengatakan itu$f$terkait dengan melakukan operasi untuk menukar titik dengan simpul berbingkai 0. Saya tidak mengerti bagaimana ini berhubungan dengan$f$ dan bagaimana $f$ didefinisikan.

Kami pasti bisa melakukan dua operasi (satu di sepanjang lingkaran dan satu di sepanjang 2-bola) untuk mendapatkan 4-manifold baru $\tilde{W}$yang memiliki diagram Kirby yang diperoleh dengan menukar titik dan nol pada gambar di atas. Namun pembedahan tidak mempengaruhi batas jadi saya tidak melihat bagaimana hal ini dapat menyebabkan peta nontrivial antar batas.

Tepatnya bagaimana $f$ didefinisikan?

Answer 1

Batas W dapat digambarkan sebagai operasi berbingkai 0 pada kedua komponen tautan yang Anda gambar. Tautan dapat digambar dengan cara yang lebih simetris, sehingga jelas bahwa ada involusi yang mempertukarkan kedua komponen tersebut. Lihat misalnya Gambar 4 dari makalah Akbulut, Solusi untuk dugaan Zeeman , Topologi 30 (1991, 513-515. Involusi ini menginduksi sebuah involusi pada manifold yang dioperasi yang mempertukarkan dua meridian.

Jika Anda tidak peduli bahwa diffeomorphism pada batas adalah sebuah involusi, Anda dapat melakukan isotop yang menukar komponen.