Ketidaksetaraan codimension

Sep 10 2020

Membiarkan $N$ dan $R$ menjadi subruang dari ruang vektor $X$(tidak perlu dimensi terbatas)$\DeclareMathOperator{\codim}{codim}$

Menganggap $N\subset R \subset X$, buktikan ketidaksetaraan codimension:

$$\codim R \le \codim N$$

Ini sangat sederhana jika kita menggunakan rumus dimensi: $\dim X = \dim N + \codim N = \dim R + \codim R\:$ (di mana codimension didefinisikan sebagai $\codim N = \dim(X/N)$ )

Bagaimana cara membuktikannya tanpa rumus ini?

Jawaban

3 ΑΘΩ Sep 10 2020 at 16:16

Saya akan mengubah notasi menjadi sesuatu yang lebih dalam semangat aljabar linier. Membiarkan$K$ menjadi bidang yang sewenang-wenang dan $V$ kiri $K$ruang -vektor dengan subruang $U \leqslant_K U' \leqslant_K V$.

Peta identitas $\mathbf{1}_V$ peta $U$ untuk $U'$ sehingga menginduksi morfisme hasil bagi $f \in \mathrm{Hom}_{\operatorname{K-\mathbf{Mod}}}(V/U, V/U')$ yang memenuhi hubungan tersebut $f \circ \sigma=\sigma'$, dimana $\sigma \colon V \to V/U$ dan $\sigma' \colon V \to V/U'$menunjukkan perkiraan kanonik masing-masing. Karena ini adalah hasil bagi dari peta dugaan,$f$ itu sendiri bersifat dugaan dan kami juga dapat dengan mudah mendapatkan deskripsinya $\mathrm{Ker}f=\sigma[U']=U'/U \leqslant_K V/U$.

Oleh karena itu, berdasarkan teorema morfisme fundamental (iso) seseorang menyimpulkan bahwa: $$\left(V/U\right)/\left(U'/U\right) \approx V/U' \quad (\operatorname{K-\mathbf{Mod}}),$$ yang secara khusus memerlukan $\mathrm{codim}_{V/U}(U'/U)=\mathrm{codim}_V(U')$.

Dari hubungan dimensi-kodimensi umum (untuk setiap subruang, jumlah antara dimensinya dan kodimensi dalam ruang ambien adalah dimensi ambien) kita memperoleh yang berikut ini: $$\mathrm{dim}_K (V/U)=\mathrm{dim}_{K}(V/U')+\mathrm{dim}_K(U'/U),$$ yang - dengan memperhatikan definisi codimensions - dapat lebih jelas dituliskan sebagai: $$\mathrm{codim}_VU=\mathrm{codim}_{V}U'+\mathrm{codim}_{U'}U,$$hubungan terkenal transitivitas codimensions .


Saya akan menyebutkan di sini (tanpa bukti) teorema fundamental untuk keberadaan morfisme hasil bagi :

Membiarkan $K$ menjadi bidang yang sewenang-wenang dengan $V$, $V'$ dua tersisa $K$ruang -vektor. Membiarkan$f \in \mathrm{Hom}_{\operatorname{K-\mathbf{Mod}}}(V, V')$ menjadi a $K$-peta linier (morfisme $K$-vektor ruang) dan $U \leqslant_K \mathrm{Ker}f$ menjadi subruang dari $U$ termasuk dalam kernel $f$. Membiarkan$\sigma \colon V \to V/U$menunjukkan perkiraan kanonik. Ada morfisme yang unik$g \in \mathrm{Hom}_{\operatorname{K-\mathbf{Mod}}}(V/U, V')$ seperti yang $f=\sigma \circ g$, morfisme yang memiliki sifat: $$\begin{align*} \mathrm{Ker}g&=(\mathrm{Ker}f)/U\\ \mathrm{Im}g&=\mathrm{Im}f. \end{align*}$$

4 ShiveringSoldier Sep 10 2020 at 15:52

Pertimbangkan petanya $f: X/N\to X/R $ didefinisikan melalui $x+N\mapsto x+R $. Ini adalah peta dugaan yang terdefinisi dengan baik. Jadi dengan teorema rank-nullity$$\dim(X/R)=\dim(X/N)-\dim(\ker f)\leq \dim(X/N).$$

4 Chrystomath Sep 10 2020 at 15:56

Jika $N\subseteq R$ kemudian $X/N$ adalah ruang vektor yang 'berisi' $R/N$, di mana $(X/N)/(R/N)\cong X/R$, oleh salah satu teorema isomorfisme ($x+N\mapsto x+R$ seperti dalam jawaban Shivering Soldier).

Secara umum, $\dim(V/W)\le\dim V$, maka mengikuti itu $\mathrm{codim}(R)=\dim(X/R)\le\dim(X/N)=\mathrm{codim}(N)$.

Bukti fakta ini: Jika $v_i$ adalah dasar untuk $V$ kemudian $v_i+W$ menjangkau $V/W$ (jelas) dan dengan demikian dimensi $V/W$ hanya bisa kurang dari itu $V$.

1 yili Sep 10 2020 at 16:13

Berdasarkan peta linier $f: X/N\to X/R$ ,yang mana :

  • terdefinisi dengan baik
  • dugaan
  • linier

Sekarang diberikan basis yang ditetapkan untuk $(X/R)$ yaitu $\{b_i|i\in I\}$, kita dapat menemukan itu salah satu titik preimage sesuai dengan itu yaitu $\mathcal{X} = \{x_i|i\in I\}$ seperti yang $f(x_i) = b_i$

Sekarang set ini $\mathcal{X} $ linear independen, karena asumsi terbatas $\sum c_ix_i = 0$ kemudian bertindak $f$ di kedua sisi yang kita miliki $\sum c_ib_i = 0$ yang artinya semua $c_i = 0$.

Karena untuk ruang vektor, kita selalu dapat memperluas himpunan independen linier $L$ untuk basis set ruang vektor ini, kami memiliki peta inklusi di antaranya $\mathcal{X}$ dan dasar dari $X/N$ (dilambangkan $\mathcal{B}$).seperti yang $i:\mathcal{X} \to \mathcal{B}$.begitu:

$$|I| = |\mathcal{X}| \le |\mathcal{B}|$$ yang melengkapi buktinya

EricTowers Sep 11 2020 at 04:16

Mungkin lebih mudah (meskipun sangat mirip di bawah tenda dengan berbagai argumen berbasis hasil bagi, di atas), menggunakan Perpanjangan himpunan independen linier ke basis dalam ruang vektor berdimensi tak hingga .

Dasar dari $N$, $\mathcal{N}$, dapat diperpanjang menjadi dasar $R$, $\mathcal{R}$, yang dapat diperpanjang menjadi $X$, $\mathcal{X}$. Kemudian$\mathcal{X} \smallsetminus \mathcal{R} \subseteq \mathcal{X} \smallsetminus \mathcal{N}$, seperti yang akan ditampilkan.