Proyeksi proyeksi bijective dari disk unit ke unit sphere

Question

Adakah metode yang tepat yang membuat pemetaan satu-ke-satu konformal (mempertahankan sudut) dari disk unit ke unit sphere? Saya tahu dengan proyeksi stereografik sederhana Anda dapat memproyeksikan disk unit ke belahan bumi.

Saya dapat membayangkan solusinya adalah dengan mendekatkan titik-titik ke pusat cakram untuk diproyeksikan ke dekat kutub Utara pada bola, sedangkan tepi cakram mendekati kutub Selatan bola.

Maaf jika pertanyaan ini diulangi, saya bukan ahli dalam geometri diferensial dan saya mencoba menggunakan istilah sederhana.

Hormat kami, Mahmoud

Answer 1

Pemetaan konformal bijektiva adalah homeomorfisme. Tapi disk unit tidak homeomorfik ke unit sphere. Jadi jawabannya tidak , tidak ada peta seperti itu.

Tentu saja melalui proyeksi stereografik Anda bisa mendapatkan homeomorfisme antara disk unit dan unit sphere dikurangi disk terbuka kecil di sekitar kutub selatan , seperti yang Anda gambarkan.