Taruhan dengan teman Anda
James, temanmu, telah mengundangmu untuk bertaruh dengannya.
Dia memiliki kematian yang adil, dengan $3$ wajah menunjukkan $0$ dan $3$ wajah menunjukkan $1$. Anda membayarnya$\\\$70 $ . Dia melempar dadu $ 15 $ kali, dan mencatat jumlah dari semua lemparan, dan dia akan memberi Anda jumlah dolar kuadrat yang tercatat. Apa keuntungan atau kerugian yang diharapkan?
Bonus: Setidaknya berapa banyak lemparan mati yang dibutuhkan untuk mendapatkan keuntungan yang diharapkan?
Masalah sendiri. Anda harus menemukan identitas untuk melakukan pertanyaan ini, jadi ini seharusnya bukan masalah gaya buku teks.
Jawaban
Misalkan kita punya $n$dadu. Kemudian
Anda mendapatkan $k^2$ dengan probabilitas ${n\choose k}/2^n$ dan harapan Anda (mengabaikan $\\\$70 $ biaya untuk bermain) adalah $ 2 ^ {- n} \ sum k ^ 2 {n \ pilih k} $ . Kami memiliki $ k {n \ pilih k} = n {n-1 \ pilih k-1} $ jadi ini sama dengan $ 2 ^ {- n} n \ sum k {n-1 \ pilih k-1} $ . Menulis $ k = (k-1) + 1 $ dan menggunakan identitas yang sama dengan $ n-1, k-1 $ di tempat $ n, k $ kita melihat bahwa ini sama dengan $ 2 ^ {- n} n (n- 1) \ jumlah {n-2 \ pilih k-2} +2 ^ {- n} n \ jumlah {n-1 \ pilih k-1} = \ frac14n (n-1) + \ frac12n = \ frac14n (n +1) $ .
Ketika $ n = 15 $
kemenangan yang Anda harapkan adalah \ $ 60 per game, tidak cukup untuk mengimbangi \ $ 70 yang Anda bayarkan untuk bermain. Untuk itu, Anda memerlukan $ n (n + 1) \ geq280 $ yang pertama kali terjadi pada $ n = 17 $ .
Sekadar iseng, berikut cara kombinatorial cerdas untuk membuktikan identitas yang saya gunakan di atas:
kita membutuhkan $ \ jumlah k ^ 2 {n \ pilih k} = 2 ^ {n-2} n (n + 1) $ . Suku pertama adalah banyaknya cara untuk memilih beberapa angka (katakanlah $ k $ ) bola dari set $ n $ , lalu pilih salah satu dari $ k $ dua kali. Daripada melakukan itu, anggaplah kita memilih satu bola (dari set lengkap $ n $ ) dua kali, lalu memilih subset mana saja dari yang lain untuk mengisi set $ k $ kita . Ada $ n \ cdot2 ^ {n-1} $ cara untuk melakukannya jika kita memilih bola yang sama dua kali. Ada $ 2 {n \ pilih 2} \ cdot2 ^ {n-2} $ cara melakukannya jika kita memilih bola yang berbeda di awal. Menambahkan ini memberikan hasil yang diinginkan.
Mungkin ada cara yang lebih cerdas untuk melakukannya sedikit lebih singkat.
Karena @Gareth McCaughan meminta solusi celana yang lebih cerdas:
Apa yang diminta untuk kita hitung adalah momen mentah ke-2 dari distribusi binomial. Ini dapat ditulis sebagai varians ditambah mean kuadrat yang semuanya sudah diketahui:$\sigma^2 + \mu^2 = np(1-p) + (np)^2 = 60$dengan parameter yang diberikan. Kerugian yang diharapkan adalah$\\\$10 $
Nilai di $ 16,17 $ adalah $ 68,76.5 $ . Jadi untuk mengharapkan kemenangan kita membutuhkan $ 17 $ koin.
Solusi ini salah, tetapi saya tinggalkan di sini karena menurut saya ini adalah contoh yang sangat baik tentang cara membingungkan $\rm{E}[x^2]$ dan $\rm{E}[x]^2$.
Kemungkinan mendapatkan $0$ (atau $1$) aku s $1/2$, maka proses yang Anda gambarkan mengikuti distribusi binomial dengan parameter$1/2$. Nilai yang diharapkan dari jumlah tersebut karenanya$15*\frac12=7.5$, maka temanmu akan memberimu $56.25$ dolar, mengakibatkan kerugian $13.75$ dolar.
Jumlah minimum $n$ dari gulungan mati untuk mendapatkan uang diberikan oleh persamaan $$ (np)^2>70 $$ yang memberikan $$ n>\sqrt{70}p^{-1} = 16.73 $$(kami membuang solusi negatif). Maka jawaban akhirnya adalah$$ n=17 $$ Permainan mati ini setara dengan menghitung jumlah kepala saat membalik koin yang adil.
Sepertinya jawaban di sini terlalu rumit.
Dengan asumsi: 50% dari waktu pengembalian 1, 50% mengembalikan 0. Berapa rata-rata pengembalian pada 1 gulungan? 0,5
Berapa rata-rata laba atas 15 gulungan? 0,5 kali 15 = 7,5 7,5 kuadrat = 56,25