DSP - DFT Discrete Cosine Transform

DCT (Discrete Cosine Transform) adalah urutan masukan-N x (n), 0≤n≤N-1, sebagai transformasi linier atau kombinasi dari eksponensial kompleks. Akibatnya, koefisien DFT secara umum kompleks meskipun x (n) adalah nyata.

Misalkan, kita mencoba mencari transformasi ortogonal yang memiliki struktur N × N yang menyatakan deret nyata x (n) sebagai kombinasi linier deret kosinus. Kami sudah tahu bahwa -

$ X (K) = \ displaystyle \ jumlah \ batas_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

Dan $ x (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x (k) cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

Hal ini dimungkinkan jika urutan titik N x (n) adalah nyata dan genap. Jadi, $ x (n) = x (Nn), 0 \ leq n \ leq (N-1) $. DFT yang dihasilkan sendiri nyata dan rata. Hal-hal ini memperjelas bahwa kita mungkin dapat merancang transformasi kosinus diskrit, untuk setiap urutan nyata titik N dengan mengambil titik 2N DFT dari urutan "ekstensi genap".

DCT pada dasarnya digunakan dalam pemrosesan gambar dan ucapan. Ini juga digunakan dalam kompresi gambar dan sinyal ucapan.

$ DFT [s (n)] = S (k) = \ sum_ {n = 0} ^ {2N-1} s (n) W_ {2N} ^ {nk}, \ quad di mana \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ S (k) = \ displaystyle \ jumlah \ batas_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) W_ {2N} ^ {nk} + \ displaystyle \ jumlah \ batas_ {n = N} ^ {2N -1} x (2N-n-1) W_ {2N} ^ {nk}; \ quad di mana \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S (k) = W_ {2N} ^ {- k / 2} + \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) [W_ {2N} ^ {nk} W_ {2N} ^ {k / 2} + W_ {2N} ^ {- nk} W_ {2N} ^ {- k / 2}]; \ quad di mana \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ cos [\ frac {\ pi} { N} (n + \ frac {1} {2}) k]; \ quad di mana \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

DCT didefinisikan oleh,

$ V (k) = 2 \ jumlah_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ cos [\ frac {\ pi} {2} (n + \ frac {1} {2}) k] \ quad di mana \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} S (k) \ quad atau \ quad S (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2 }} V (k), \ quad di mana \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V (k) = 2R [W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) W_ {2N} ^ {nk} ], \ quad di mana \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $