DSP - DFT Circular Convolution
Mari kita ambil dua urutan durasi hingga x 1 (n) dan x 2 (n), memiliki panjang bilangan bulat sebagai N. DFT mereka masing-masing adalah X 1 (K) dan X 2 (K), yang ditunjukkan di bawah ini -
$$ X_1 (K) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_1 (n) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} \ quad k = 0,1,2 .. .N-1 $$ $$ X_2 (K) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_2 (n) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} \ quad k = 0 , 1,2 ... N-1 $$Sekarang, kita akan mencoba mencari DFT dari urutan lain x 3 (n), yang diberikan sebagai X 3 (K)
$ X_3 (K) = X_1 (K) \ kali X_2 (K) $
Dengan mengambil IDFT di atas kita dapatkan
$ x_3 (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ jumlah \ batas_ {n = 0} ^ {N-1} X_3 (K) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} $
Setelah menyelesaikan persamaan di atas, akhirnya kita dapatkan
$ x_3 (n) = \ displaystyle \ jumlah \ batas_ {m = 0} ^ {N-1} x_1 (m) x_2 [((nm)) _ N] \ quad m = 0,1,2 ... N- 1 $
| Poin perbandingan | Konvolusi Linear | Konvolusi Melingkar |
|---|---|---|
| Bergeser | Pergeseran linier | Pergeseran melingkar |
| Sampel dalam hasil konvolusi | $ N_1 + N_2−1 $ | $ Maks (N_1, N_2) $ |
| Menemukan respon dari sebuah filter | Bisa jadi | Mungkin tanpa bantalan |
Metode Konvolusi Melingkar
Secara umum, ada dua metode, yang diadopsi untuk melakukan konvolusi melingkar dan mereka -
- Metode lingkaran konsentris,
- Metode perkalian matriks.
Metode Lingkaran Konsentris
Misalkan $ x_1 (n) $ dan $ x_2 (n) $ menjadi dua urutan yang diberikan. Langkah-langkah yang diikuti untuk konvolusi melingkar dari $ x_1 (n) $ dan $ x_2 (n) $ adalah
Ambil dua lingkaran konsentris. Plot N sampel $ x_1 (n) $ pada keliling lingkaran luar (pertahankan jarak titik-titik berurutan yang sama) berlawanan arah jarum jam.
Untuk memplot $ x_2 (n) $, plot N sampel $ x_2 (n) $ searah jarum jam pada lingkaran dalam, sampel awal ditempatkan pada titik yang sama dengan sampel ke- 0 $ x_1 (n) $
Kalikan sampel yang sesuai pada dua lingkaran dan tambahkan untuk mendapatkan keluaran.
Putar lingkaran dalam berlawanan arah jarum jam dengan sampel satu per satu.
Metode Perkalian Matriks
Metode matriks mewakili dua urutan yang diberikan $ x_1 (n) $ dan $ x_2 (n) $ dalam bentuk matriks.
Salah satu urutan yang diberikan diulangi melalui pergeseran melingkar dari satu sampel pada satu waktu untuk membentuk matriks NXN.
Urutan lainnya direpresentasikan sebagai matriks kolom.
Perkalian dua matriks menghasilkan konvolusi melingkar.