DSP - Transformasi Frekuensi Waktu DFT
Kita tahu bahwa ketika $ \ omega = 2 \ pi K / N $ dan $ N \ rightarrow \ infty, \ omega $ menjadi variabel kontinu dan batas penjumlahan menjadi $ - \ infty $ hingga $ + \ infty $.
Karena itu,
$$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {j \ omega}) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {\ frac {-j2 \ pi nk} {N}} = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n} $$Transformasi Fourier Waktu Diskrit (DTFT)
Kita tahu bahwa, $ X (e ^ {j \ omega}) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n} $
Di mana, $ X (e ^ {j \ omega}) $ kontinu dan periodik di ω dan dengan periode 2π. … Persamaan (1)
Sekarang,
$ x_p (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $ … Dari seri Fourier
$ x_p (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} \ times \ frac {2 \ pi} {N } $
ω menjadi berkelanjutan dan $ \ frac {2 \ pi} {N} \ rightarrow d \ omega $, karena alasan yang dikutip di atas.
$ x (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {n = 0} ^ {2 \ pi} X (e ^ {j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega $ … Eq (2)
Transformasi Fourier Waktu Diskrit Terbalik
Secara simbolis,
$ x (n) \ Longleftrightarrow x (e ^ {j \ omega}) $ (Pasangan Transformasi Fourier)
Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk keberadaan Transformasi Fourier Waktu Diskrit untuk urutan non-periodik x (n) dapat dijumlahkan secara mutlak.
yaitu $ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty | x (n) | <\ infty $
Properti DTFT
Linearity: $ a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) \ Leftrightarrow a_1X_1 (e ^ {j \ omega}) + a_2X_2 (e ^ {j \ omega}) $
Time shifting- $ x (nk) \ Leftrightarrow e ^ {- j \ omega k} .X (e ^ {j \ omega}) $
Time Reversal- $ x (-n) \ Leftrightarrow X (e ^ {- j \ omega}) $
Frequency shifting- $ e ^ {j \ omega _0n} x (n) \ Leftrightarrow X (e ^ {j (\ omega - \ omega _0)}) $
Differentiation frequency domain- $ nx (n) = j \ frac {d} {d \ omega} X (e ^ {j \ omega}) $
Convolution- $ x_1 (n) * x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega}) $
Multiplication- $ x_1 (n) \ kali x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) * X_2 (e ^ {j \ omega}) $
Co-relation- $ y_ {x_1 \ times x_2} (l) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega}) $
Modulation theorem- $ x (n) \ cos \ omega _0n = \ frac {1} {2} [X_1 (e ^ {j (\ omega + \ omega _0}) * X_2 (e ^ {jw}) $
Symmetry- $ x ^ * (n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {- j \ omega}) $;
$ x ^ * (- n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {j \ omega}) $;
$ Nyata [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {even} (e ^ {j \ omega}) $;
$ Bayangan [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {odd} (e ^ {j \ omega}) $;
$ x_ {datar} (n) \ Sisi Kiri Kanan Nyata [x (e ^ {j \ omega})] $;
$ x_ {ganjil} (n) \ Gambar sayap kiri kanan [x (e ^ {j \ omega})] $;
Parseval’s theorem- $ \ sum _ {- \ infty} ^ \ infty | x_1 (n) | ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | X_1 (e ^ {j \ omega}) | ^ 2d \ omega $
Sebelumnya, kami mempelajari pengambilan sampel dalam domain frekuensi. Dengan pengetahuan dasar tersebut, kami mengambil sampel $ X (e ^ {j \ omega}) $ dalam domain frekuensi, sehingga analisis digital yang mudah dapat dilakukan dari data sampel tersebut. Oleh karena itu, DFT diambil sampelnya dalam domain waktu dan frekuensi. Dengan asumsi $ x (n) = x_p (n) $
Oleh karena itu, DFT diberikan oleh -
$ X (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) e ^ {- \ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, k = 0,1,…., N − 1 … eq (3)
Dan IDFT diberikan oleh -
$ X (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) e ^ {\ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, n = 0,1,…., N − 1 … persamaan (4)
$ \ oleh karena itu x (n) \ Panah kiri kanan X (k) $
Faktor Twiddle
Ini dilambangkan sebagai $ W_N $ dan didefinisikan sebagai $ W_N = e ^ {- j2 \ pi / N} $. Besarannya selalu dipertahankan pada kesatuan. Fase $ W_N = -2 \ pi / N $. Ini adalah vektor pada lingkaran satuan dan digunakan untuk kemudahan komputasi. Secara matematis, ini dapat ditunjukkan sebagai -
$ W_N ^ r = W_N ^ {r \ pm N} = W_N ^ {r \ pm 2N} = ... $
Ini adalah fungsi dari r dan periode N.
Pertimbangkan N = 8, r = 0,1,2,3,… .14,15,16,….
$ \ Longleftrightarrow W_8 ^ 0 = W_8 ^ 8 = W_8 ^ {16} = ... = ... = W_8 ^ {32} = ... = 1 = 1 \ sudut 0 $
$ W_8 ^ 1 = W_8 ^ 9 = W_8 ^ {17} = ... = ... = W_8 ^ {33} = ... = \ frac {1} {\ sqrt 2} = j \ frac {1} {\ sqrt 2} = 1 \ angle- \ frac {\ pi} {4} $
Transformasi Linear
Mari kita pahami Transformasi Linear -
Kami tahu itu,
$ DFT (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) .W_n ^ { -nk}; \ quad k = 0,1,…., N − 1 $
$ x (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) .W_N ^ {- nk}; \ quad n = 0,1,…., N − 1 $
Note- Perhitungan DFT dapat dilakukan dengan perkalian kompleks N 2 dan penjumlahan kompleks N (N-1).
$ x_N = \ mulai {bmatrix} x (0) \\ x (1) \\. \\. \\ x (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ sinyal quad \ quad x_N $
$ X_N = \ mulai {bmatrix} X (0) \\ X (1) \\. \\. \\ X (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ sinyal quad \ quad X_N $
$ \ mulai {bmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & ... & 1 \\ 1 & W_N & W_N ^ 2 & ... & ... & W_N ^ {N-1} \\. & W_N ^ 2 & W_N ^ 4 & ... & ... & W_N ^ {2 (N-1)} \\. \\ 1 & W_N ^ {N-1} & W_N ^ {2 (N-1 )} & ... & ... & W_N ^ {(N-1) (N-1)} \ end {bmatrix} $
N - titik DFT dalam istilah matriks diberikan oleh - $ X_N = W_Nx_N $
$ W_N \ longmapsto $ Matriks transformasi linier
$ Sekarang, \ quad x_N = W_N ^ {- 1} X_N $
IDFT dalam bentuk Matriks diberikan oleh
$$ x_N = \ frac {1} {N} W_N ^ * X_N $$Membandingkan kedua ekspresi $ x_N, \ quad W_N ^ {- 1} = \ frac {1} {N} W_N ^ * $ dan $ W_N \ times W_N ^ * = N [I] _ {N \ times N} $
Oleh karena itu, $ W_N $ adalah matriks transformasi linier, matriks ortogonal (kesatuan).
Dari sifat periodik $ W_N $ dan dari sifat simetrisnya, dapat disimpulkan bahwa $ W_N ^ {k + N / 2} = -W_N ^ k $
Simetri Melingkar
DFT titik-N dengan durasi terbatas x (n) dengan panjang N≤L, setara dengan DFT titik-N dari ekstensi periodik x (n), yaitu $ x_p (n) $ periode N. dan $ x_p ( n) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) $. Sekarang, jika kita menggeser urutan, yang merupakan urutan periodik sebanyak k unit ke kanan, diperoleh urutan periodik lain. Ini dikenal sebagai Pergeseran melingkar dan ini diberikan oleh,
$$ x_p ^ \ prime (n) = x_p (nk) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (nk-Nl) $$Urutan terbatas baru dapat direpresentasikan sebagai
$$ x_p ^ \ prime (n) = \ begin {cases} x_p ^ \ prime (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0 & Sebaliknya \ end {cases} $$Example - Misalkan x (n) = {1,2,4,3}, N = 4,
$ x_p ^ \ prime (n) = x (nk, modulo \ quad N) \ equiv x ((nk)) _ N \ quad; ex-if \ quad k = 2i.e \ quad 2 \ quad unit \ quad right \ quad shift \ quad dan \ quad N = 4, $
Diasumsikan searah jarum jam sebagai arah positif.
Kami mendapat, $ x \ prime (n) = x ((n-2)) _ 4 $
$ x \ prime (0) = x ((- 2)) _ 4 = x (2) = 4 $
$ x \ prime (1) = x ((- 1)) _ 4 = x (3) = 3 $
$ x \ prime (2) = x ((- 2)) _ 4 = x (0) = 1 $
$ x \ prime (3) = x ((1)) _ 4 = x (1) = 2 $
Conclusion - Pergeseran lingkaran urutan titik-N ekivalen dengan pergeseran linier ekstensi periodiknya dan sebaliknya.
Urutan genap melingkar - $ x (Nn) = x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $
$ iex_p (n) = x_p (-n) = x_p (Nn) $
Konjugasi genap - $ x_p (n) = x_p ^ * (Nn) $
Urutan ganjil melingkar - $ x (Nn) = -x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $
$ iex_p (n) = -x_p (-n) = -x_p (Nn) $
Konjugasi ganjil - $ x_p (n) = -x_p ^ * (Nn) $
Sekarang, $ x_p (n) = x_ {pe} + x_ {po} (n) $, di mana,
$ x_ {pe} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) + x_p ^ * (Nn)] $
$ x_ {po} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) -x_p ^ * (Nn)] $
Untuk sinyal nyata apa pun x (n), $ X (k) = X ^ * (Nk) $
$ X_R (k) = X_R (Nk) $
$ X_l (k) = -X_l (Nk) $
$ \ sudut X (k) = - \ sudut X (NK) $
Time reversal- membalikkan sampel tentang 0 th sampel. Ini diberikan sebagai;
$ x ((- n)) _ N = x (Nn), \ quad 0 \ leq n \ leq N-1 $
Pembalikan waktu adalah memplot contoh urutan, searah jarum jam yaitu diasumsikan arah negatif.
Beberapa Properti Penting Lainnya
Properti IDFT penting lainnya $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $
Time reversal - $ x ((- n)) _ N = x (Nn) \ longleftrightarrow X ((- k)) _ N = X (Nk) $
Circular time shift - $ x ((nl)) _ N \ longleftrightarrow X (k) e ^ {j2 \ pi lk / N} $
Circular frequency shift - $ x (n) e ^ {j2 \ pi ln / N} \ longleftrightarrow X ((kl)) _ N $
Complex conjugate properties -
$ x ^ * (n) \ longleftrightarrow X ^ * ((- k)) _ N = X ^ * (Nk) \ quad dan $
$ x ^ * ((- n)) _ N = x ^ * (Nn) \ longleftrightarrow X ^ * (- k) $
Multiplication of two sequence -
$ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quad dan \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (k) $
$ \ oleh karena itu x_1 (n) x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quadⓃ X_2 (k) $
Circular convolution - dan perkalian dua DFT
$ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x_1 (n) .x_2 ((mn)) _ n, \ quad m = 0,1,2 ,. .., N-1 $
$ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) \ longleftrightarrow X_1 (k) .X_2 (k) $
Circular correlation - Jika $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ dan $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $, maka terdapat korelasi silang yang dilambangkan sebagai $ \ bar Y_ {xy} $ sehingga $ \ bar Y_ {xy} (l) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * ((nl)) _ N = X (k) .Y ^ * (k) $
Parseval’s Theorem - Jika $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ dan $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $;
$ \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ { N-1} X (k) .Y ^ * (k) $