DSP - Contoh Solved Z-Transform

Contoh 1

Temukan respon dari sistem $ s (n + 2) -3s (n + 1) + 2s (n) = \ delta (n) $, ketika semua kondisi awal adalah nol.

Solution - Mengambil transformasi-Z di kedua sisi persamaan di atas, kita dapatkan

$$ S (z) Z ^ 2-3S (z) Z ^ 1 + 2S (z) = 1 $$

$ \ Rightarrow S (z) \ lbrace Z ^ 2-3Z + 2 \ rbrace = 1 $

$ \ Rightarrow S (z) = \ frac {1} {\ lbrace z ^ 2-3z + 2 \ rbrace} = \ frac {1} {(z-2) (z-1)} = \ frac {\ alpha _1} {z-2} + \ frac {\ alpha _2} {z-1} $

$ \ Rightarrow S (z) = \ frac {1} {z-2} - \ frac {1} {z-1} $

Mengambil transformasi Z terbalik dari persamaan di atas, kita dapatkan

$ S (n) = Z ^ {- 1} [\ frac {1} {Z-2}] - Z ^ {- 1} [\ frac {1} {Z-1}] $

$ = 2 ^ {n-1} -1 ^ {n-1} = -1 + 2 ^ {n-1} $

Contoh 2

Tentukan fungsi sistem H (z) dan respons sampel satuan h (n) dari sistem yang persamaan perbedaannya dijelaskan seperti di bawah

$ y (n) = \ frac {1} {2} y (n-1) + 2x (n) $

dimana, y (n) dan x (n) masing-masing adalah keluaran dan masukan dari sistem.

Solution - Mengambil transformasi Z dari persamaan selisih di atas, kita dapatkan

$ y (z) = \ frac {1} {2} Z ^ {- 1} Y (Z) + 2X (z) $

$ = Y (Z) [1- \ frac {1} {2} Z ^ {- 1}] = 2X (Z) $

$ = H (Z) = \ frac {Y (Z)} {X (Z)} = \ frac {2} {[1- \ frac {1} {2} Z ^ {- 1}]} $

Sistem ini memiliki kutub pada $ Z = \ frac {1} {2} $ dan $ Z = 0 $ dan $ H (Z) = \ frac {2} {[1- \ frac {1} {2} Z ^ {-1}]} $

Oleh karena itu, mengambil transformasi Z terbalik di atas, kita dapatkan

$ h (n) = 2 (\ frac {1} {2}) ^ nU (n) $

Contoh 3

Tentukan Y (z), n≥0 dalam kasus berikut -

$ y (n) + \ frac {1} {2} y (n-1) - \ frac {1} {4} y (n-2) = 0 \ quad diberikan \ quad y (-1) = y ( -2) = 1 $

Solution - Menerapkan Z-transform ke persamaan di atas, kita dapatkan

$ Y (Z) + \ frac {1} {2} [Z ^ {- 1} Y (Z) + Y (-1)] - \ frac {1} {4} [Z ^ {- 2} Y ( Z) + Z ^ {- 1} Y (-1) +4 (-2)] = 0 $

$ \ Rightarrow Y (Z) + \ frac {1} {2Z} Y (Z) + \ frac {1} {2} - \ frac {1} {4Z ^ 2} Y (Z) - \ frac {1} {4Z} - \ frac {1} {4} = 0 $

$ \ Rightarrow Y (Z) [1+ \ frac {1} {2Z} - \ frac {1} {4Z ^ 2}] = \ frac {1} {4Z} - \ frac {1} {2} $

$ \ Rightarrow Y (Z) [\ frac {4Z ^ 2 + 2Z-1} {4Z ^ 2}] = \ frac {1-2Z} {4Z} $

$ \ Rightarrow Y (Z) = \ frac {Z (1-2Z)} {4Z ^ 2 + 2Z-1} $