DSP - Properti Z-Transform

Dalam bab ini, kita akan memahami properti dasar transformasi-Z.

Linearitas

Ini menyatakan bahwa ketika dua atau lebih sinyal diskrit individu dikalikan dengan konstanta, transformasi Z masing-masing juga akan dikalikan dengan konstanta yang sama.

Secara matematis,

$$ a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) = a_1X_1 (z) + a_2X_2 (z) $$

Proof - Kami tahu itu,

$$ X (Z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $$

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n)) Z ^ {- n} $

$ = a_1 \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_1 (n) Z ^ {- n} + a_2 \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 (n) Z ^ {- n} $

$ = a_1X_1 (z) + a_2X_2 (z) $ (Maka Terbukti)

Di sini, KOP adalah $ ROC_1 \ bigcap ROC_2 $.

Pergeseran Waktu

Properti pergeseran waktu menggambarkan bagaimana perubahan domain waktu dalam sinyal diskrit akan mempengaruhi domain-Z, yang dapat ditulis sebagai;

$$ x (n-n_0) \ longleftrightarrow X (Z) Z ^ {- n} $$

Atau $ x (n-1) \ longleftrightarrow Z ^ {- 1} X (Z) $

Proof -

Misalkan $ y (P) = X (PK) $

$ Y (z) = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty y (p) Z ^ {- p} $

$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty (x (pk)) Z ^ {- p} $

Misalkan s = pk

$ = \ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (s) Z ^ {- (s + k)} $

$ = \ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (s) Z ^ {- s} Z ^ {- k} $

$ = Z ^ {- k} [\ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (m) Z ^ {- s}] $

$ = Z ^ {- k} X (Z) $ (Terbukti)

Di sini, ROC dapat ditulis sebagai Z = 0 (p> 0) atau Z = ∞ (p <0)

Contoh

U (n) dan U (n-1) dapat diplot sebagai berikut

Transformasi-Z U (n) cab ditulis sebagai;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [U (n)] Z ^ {- n} = 1 $

Transformasi-Z dari U (n-1) dapat ditulis sebagai;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [U (n-1)] Z ^ {- n} = Z ^ {- 1} $

Jadi di sini $ x (n-n_0) = Z ^ {- n_0} X (Z) $ (Maka Terbukti)

Penskalaan Waktu

Properti Time Scaling memberitahu kita, apa yang akan menjadi domain Z dari sinyal ketika waktu diskalakan dalam bentuk diskritnya, yang dapat ditulis sebagai;

$$ a ^ nx (n) \ longleftrightarrow X (a ^ {- 1} Z) $$

Proof -

Misalkan $ y (p) = a ^ {p} x (p) $

$ Y (P) = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty y (p) Z ^ {- p} $

$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty a ^ px (p) Z ^ {- p} $

$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty x (p) [a ^ {- 1} Z] ^ {- p} $

$ = X (a ^ {- 1} Z) $ (terbukti)

ROC: = Mod (ar1) <Mod (Z) <Mod (ar2) dimana Mod = Modulus

Contoh

Mari kita tentukan Z-transformasi $ x (n) = a ^ n \ cos \ omega n $ menggunakan properti Time scaling.

Solution -

Kita sudah tahu bahwa transformasi-Z dari sinyal $ \ cos (\ omega n) $ diberikan oleh -

$$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (\ cos \ omega n) Z ^ {- n} = (Z ^ 2-Z \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $$

Sekarang, dengan menerapkan properti Time scaling, transformasi-Z $ a ^ n \ cos \ omega n $ dapat ditulis sebagai;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (a ^ n \ cos \ omega n) Z ^ {- n} = X (a ^ {- 1} Z) $

$ = [(a ^ {- 1} Z) ^ 2- (a ^ {- 1} Z \ cos \ omega n)] / ((a ^ {- 1} Z) ^ 2-2 (a ^ {- 1} Z \ cos \ omega n) +1) $

$ = Z (Za \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2az \ cos \ omega + a ^ 2) $

Diferensiasi Berturut-turut

Properti Diferensiasi Berturut-turut menunjukkan bahwa transformasi-Z akan terjadi ketika kita membedakan sinyal diskrit dalam domain waktu, sehubungan dengan waktu. Ini ditunjukkan seperti di bawah ini.

$$ \ frac {dx (n)} {dn} = (1-Z ^ {- 1}) X (Z) $$

Proof -

Pertimbangkan LHS persamaan - $ \ frac {dx (n)} {dn} $

$$ = \ frac {[x (n) -x (n-1)]} {[n- (n-1)]} $$

$ = x (n) -X (n-1) $

$ = x (Z) -Z ^ {- 1} x (Z) $

$ = (1-Z ^ {- 1}) x (Z) $ (Maka Terbukti)

KOP: R1 <Mod (Z) <R2

Contoh

Mari kita temukan transformasi Z dari sinyal yang diberikan oleh $ x (n) = n ^ 2u (n) $

Berdasarkan properti kita bisa menulis

$ Zz [nU (n)] = -Z \ frac {dZ [U (n)]} {dz} $

$ = -Z \ frac {h [\ frac {Z} {Z-1}]} {dZ} $

$ = Z / ((Z-1) ^ 2 $

$ = y (misalkan) $

Sekarang, Z [ny] dapat ditemukan dengan menerapkan kembali properti,

$ Z (n, y) = -Z \ frac {dy} {dz} $

$ = -Z \ frac {h [Z / (Z-1) ^ 3]} {dz} $

$ = Z (Z + 1) / (Z-1) ^ 2 $

Lilitan

Ini menggambarkan perubahan dalam domain-Z sistem ketika konvolusi terjadi dalam bentuk sinyal diskrit, yang dapat ditulis sebagai -

$ x_1 (n) * x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (Z) .X_2 (Z) $

Proof -

$ X (Z) = \ jumlah_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [\ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) x_2 (nk)] Z ^ {- n} $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [\ sum_n ^ \ infty x_2 (nk) Z ^ {- n}] $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [\ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 (nk) Z ^ {- (nk)} Z ^ {- k}] $

Misalkan nk = l, maka cab persamaan di atas ditulis sebagai -

$ X (Z) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [Z ^ {- k} \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x_2 (l) Z ^ {- l }] $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) X_2 (Z) Z ^ {- k} $

$ = X_2 (Z) \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (Z) Z ^ {- k} $

$ = X_1 (Z) .X_2 (Z) $ (Maka Terbukti)

ROC: $ ROC \ bigcap ROC2 $

Contoh

Mari kita temukan konvolusi yang diberikan oleh dua sinyal

$ x_1 (n) = \ lbrace 3, -2,2 \ rbrace $ ... (persamaan 1)

$ x_2 (n) = \ lbrace 2,0 \ leq 4 \ quad dan \ quad 0 \ quad di tempat lain \ rbrace $ ... (persamaan 2)

Transformasi-Z dari persamaan pertama dapat ditulis sebagai;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_1 (n) Z ^ {- n} $

$ = 3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} $

Transformasi-Z dari sinyal kedua dapat ditulis sebagai;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 (n) Z ^ {- n} $

$ = 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4} $

Jadi, konvolusi dari dua sinyal di atas diberikan oleh -

$ X (Z) = [x_1 (Z) ^ * x_2 (Z)] $

$ = [3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2}] \ kali [2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4 }] $

$ = 6 + 2Z ^ {- 1} + 6Z ^ {- 2} + 6Z ^ {- 3} + ... \ quad ... \ quad ... $

Mengambil transformasi Z terbalik yang kita dapatkan,

$ x (n) = \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $

Teorema Nilai Awal

Jika x (n) adalah barisan sebab akibat, yang transformasi Z-nya menjadi X (z), maka teorema nilai awal dapat ditulis sebagai;

$ X (n) (di \ quad n = 0) = \ lim_ {z \ hingga \ infty} X (z) $

Proof - Kami tahu itu,

$ X (Z) = \ jumlah_ {n = 0} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $

Memperluas seri di atas, kita dapatkan;

$ = X (0) Z ^ 0 + X (1) Z ^ {- 1} + X (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... $

$ = X (0) \ kali 1 + X (1) Z ^ {- 1} + X (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... $

Dalam kasus di atas jika Z → ∞ lalu $ Z ^ {- n} \ rightarrow 0 $ (Karena n> 0)

Oleh karena itu, kita dapat mengatakan;

$ \ lim_ {z \ to \ infty} X (z) = X (0) $ (Maka Terbukti)

Teorema Nilai Akhir

Teorema Nilai Akhir menyatakan bahwa jika transformasi-Z suatu sinyal direpresentasikan sebagai X (Z) dan semua kutubnya berada di dalam lingkaran, maka nilai akhirnya dilambangkan sebagai x (n) atau X (∞) dan dapat dituliskan sebagai -

$ X (\ infty) = \ lim_ {n \ to \ infty} X (n) = \ lim_ {z \ to 1} [X (Z) (1-Z ^ {- 1})] $

Conditions -

Ini hanya berlaku untuk sistem sebab akibat.
$ X (Z) (1-Z ^ {- 1}) $ harus memiliki kutub di dalam lingkaran satuan di bidang-Z.

Proof - Kami tahu itu

$ Z ^ + [x (n + 1) -x (n)] = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $

$ \ Panah Kanan Z ^ + [x (n + 1)] - Z ^ + [x (n)] = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $

$ \ Panah Kanan Z [X (Z) ^ + - x (0)] - X (Z) ^ + = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $

Di sini, kita dapat menerapkan properti lanjutan Transformasi-Z satu sisi. Jadi, persamaan di atas dapat ditulis ulang menjadi;

$ Z ^ + [x (n + 1)] = Z [X (2) ^ + - x (0) Z ^ 0] = Z [X (Z) ^ + - x (0)] $

Sekarang dengan menempatkan z = 1 pada persamaan di atas, kita dapat memperluas persamaan di atas -

$ \ lim_ {k \ hingga \ infty} {[x (1) -x (0) + x (6) -x (1) + x (3) -x (2) + ... \ quad ... \ quad ... + x (x + 1) -x (k)]} $

Ini dapat dirumuskan sebagai;

$ X (\ infty) = \ lim_ {n \ to \ infty} X (n) = \ lim_ {z \ to 1} [X (Z) (1-Z ^ {- 1})] $ (Maka Terbukti)

Contoh

Mari kita temukan nilai Awal dan Akhir dari x (n) yang sinyalnya diberikan oleh

$ X (Z) = 2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2} $

Solution - Mari kita pertama, mencari nilai awal sinyal dengan menerapkan teorema

$ x (0) = \ lim_ {z \ sampai \ infty} X (Z) $

$ = \ lim_ {z \ sampai \ infty} [2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2}] $

$ = 2 + (\ frac {3} {\ infty}) + (\ frac {4} {\ infty}) = 2 $

Sekarang mari kita temukan nilai akhir dari sinyal yang menerapkan teorema tersebut

$ x (\ infty) = \ lim_ {z \ to \ infty} [(1-Z ^ {- 1}) X (Z)] $

$ = \ lim_ {z \ hingga \ infty} [(1-Z ^ {- 1}) (2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2})] $

$ = \ lim_ {z \ sampai \ infty} [2 + Z ^ {- 1} + Z ^ {- 2} -4Z ^ {- 3}] $

$ = 2 + 1 + 1-4 = 0 $

Some other properties of Z-transform are listed below -

Diferensiasi Frekuensi

Ini memberikan perubahan dalam domain Z dari sinyal, ketika sinyal diskritnya dibedakan sehubungan dengan waktu.

$ nx (n) \ longleftrightarrow -Z \ frac {dX (z)} {dz} $

ROC-nya dapat ditulis sebagai;

$ r_2 <Mod (Z) <r_1 $

Contoh

Mari kita temukan nilai x (n) melalui Diferensiasi frekuensi, yang sinyal diskritnya dalam domain Z diberikan oleh $ x (n) \ longleftrightarrow X (Z) = log (1 + aZ ^ {- 1}) $

Berdasarkan properti, kita bisa menulisnya

$ nx (n) \ longleftrightarrow -Z \ frac {dx (Z)} {dz} $

$ = -Z [\ frac {-aZ ^ {- 2}} {1 + aZ ^ {- 1}}] $

$ = (aZ ^ {- 1}) / (1 + aZ ^ {- 1}) $

$ = 1-1 / (1 + aZ ^ {- 1}) $

$ nx (n) = \ delta (n) - (- a) ^ nu (n) $

$ \ Panah Kanan x (n) = 1 / n [\ delta (n) - (- a) ^ nu (n)] $