DSP - Keberadaan Z-Transform

Suatu sistem yang memiliki fungsi sistem, hanya dapat stabil jika semua kutub berada di dalam lingkaran satuan. Pertama, kami memeriksa apakah sistem itu kausal atau tidak. Jika sistemnya kausal, maka kami melakukan penentuan stabilitas BIBO; dimana stabilitas BIBO mengacu pada input yang dibatasi untuk kondisi output yang dibatasi.

Ini dapat ditulis sebagai;

$ Mod (X (Z)) <\ infty $

$ = Mod (\ sum x (n) Z ^ {- n}) <\ infty $

$ = \ jumlah Mod (x (n) Z ^ {- n}) <\ infty $

$ = \ sum Mod [x (n) (re ^ {jw}) ^ {- n}] <0 $

$ = \ sum Mod [x (n) r ^ {- n}] Mod [e ^ {- jwn}] <\ infty $

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty Mod [x (n) r ^ {- n}] <\ infty $

Persamaan di atas menunjukkan kondisi keberadaan transformasi-Z.

Namun syarat keberadaan sinyal DTFT adalah

$$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty Mod (x (n) <\ infty $$

Contoh 1

Mari kita coba mencari tahu transformasi Z dari sinyal, yang diberikan sebagai

$ x (n) = - (- 0,5) ^ {- n} u (-n) + 3 ^ nu (n) $

$ = - (- 2) ^ nu (n) + 3 ^ nu (n) $

Solution - Di sini, untuk $ - (- 2) ^ nu (n) $ ROC adalah Sisi Kiri dan Z <2

Untuk $ 3 ^ nu (n) $ ROC adalah sisi kanan dan Z> 3

Oleh karena itu, di sini transformasi-Z sinyal tidak akan ada karena tidak ada wilayah yang sama.

Contoh 2

Mari kita coba mencari tahu transformasi Z dari sinyal yang diberikan oleh

$ x (n) = -2 ^ nu (-n-1) + (0,5) ^ nu (n) $

Solution - Di sini, untuk $ -2 ^ nu (-n-1) $ ROC sinyal adalah Sisi Kiri dan Z <2

Untuk sinyal $ (0.5) ^ nu (n) $ ROC adalah sisi kanan dan Z> 0.5

Jadi, ROC umum dibentuk sebagai 0,5 <Z <2

Oleh karena itu, Z-transform dapat ditulis sebagai;

$ X (Z) = \ lbrace \ frac {1} {1-2Z ^ {- 1}} \ rbrace + \ lbrace \ frac {1} {(1-0,5Z) ^ {- 1}} \ rbrace $

Contoh 3

Mari kita coba mencari tahu transformasi Z dari sinyal, yang diberikan sebagai $ x (n) = 2 ^ {r (n)} $

Solution- r (n) adalah sinyal ramp. Jadi sinyalnya bisa ditulis sebagai;

$ x (n) = 2 ^ {nu (n)} \ lbrace 1, n <0 (u (n) = 0) \ quad dan \ quad2 ^ n, n \ geq 0 (u (n) = 1) \ rbrace $

$ = u (-n-1) + 2 ^ nu (n) $

Di sini, untuk sinyal $ u (-n-1) $ dan ROC Z <1 dan untuk $ 2 ^ nu (n) $ dengan ROC adalah Z> 2.

Jadi, transformasi Z sinyal tidak akan ada.

Z -Transformasi untuk Sistem Kausal

Sistem kausal dapat didefinisikan sebagai $ h (n) = 0, n <0 $. Untuk sistem kausal, ROC akan berada di luar lingkaran pada bidang Z.

$ H (Z) = \ displaystyle \ jumlah \ batas_ {n = 0} ^ {\ infty} h (n) Z ^ {- n} $

Memperluas persamaan di atas,

$ H (Z) = h (0) + h (1) Z ^ {- 1} + h (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... $

$ = N (Z) / D (Z) $

Untuk sistem kausal, perluasan Fungsi Transfer tidak menyertakan pangkat positif Z. Untuk sistem kausal, urutan pembilang tidak boleh melebihi urutan penyebut. Ini dapat ditulis sebagai-

$ \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} H (Z) = h (0) = 0 \ quad atau \ quad Finite $

Untuk kestabilan sistem kausal, kutub-kutub fungsi Transfer harus berada di dalam lingkaran satuan pada bidang-Z.

Z-transform untuk Sistem Anti-kausal

Sistem anti-kausal dapat didefinisikan sebagai $ h (n) = 0, n \ geq 0 $. Untuk sistem Anti kausal, kutub-kutub fungsi transfer harus berada di luar lingkaran satuan pada bidang-Z. Untuk sistem anti kausal, ROC akan berada di dalam lingkaran pada bidang Z.