DSP - DFT Linear Filtering

DFT memberikan pendekatan alternatif untuk konvolusi domain waktu. Ini dapat digunakan untuk melakukan pemfilteran linier dalam domain frekuensi.

Jadi, $ Y (\ omega) = X (\ omega) .H (\ omega) \ longleftrightarrow y (n) $ .

Masalah dalam pendekatan domain frekuensi ini adalah bahwa $ Y (\ omega) $, $ X (\ omega) $ dan $ H (\ omega) $ adalah fungsi berkelanjutan dari ω, yang tidak bermanfaat untuk komputasi digital pada komputer. Namun, DFT menyediakan versi sampel dari bentuk gelombang ini untuk menyelesaikan tujuan.

Keuntungannya, dengan memiliki pengetahuan tentang teknik DFT yang lebih cepat seperti FFT, algoritma komputasi yang lebih efisien dapat dikembangkan untuk komputasi komputer digital dibandingkan dengan pendekatan domain waktu.

Pertimbangkan urutan durasi terbatas, $ [x (n) = 0, \ quad untuk, n <0 \ quad dan \ quad n \ geq L] $ (persamaan umum), menggairahkan filter linier dengan respons impuls $ [h (n ) = 0, \ quad forn <0 \ quad dan \ quad n \ geq M] $.

$$ x (n) y (n) $$ $$ keluaran = y (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {M-1} j (k) .x (nk) $$

Dari analisis konvolusi, diketahui bahwa durasi y (n) adalah L + M − 1.

Dalam domain frekuensi,

$$ Y (\ omega) = X (\ omega). H (\ omega) $$

Sekarang, $ Y (\ omega) $ adalah fungsi kontinu dari ω dan diambil sampelnya pada sekumpulan frekuensi diskrit dengan jumlah sampel berbeda yang harus sama dengan atau melebihi $ L + M-1 $.

$$ DFT \ ukuran quad = N \ geq L + M-1 $$

Dengan $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $,

$ Y (\ omega) = X (k) .H (k) $, di mana k = 0,1,…., N-1

Dimana, X (k) dan H (k) masing-masing adalah DFT titik-N dari x (n) dan h (n). $ x (n) \ & h (n) $ diisi dengan angka nol hingga panjang N. Ini tidak akan merusak spektrum kontinu $ X (\ omega) $ dan $ H (\ omega) $. Karena $ N \ geq L + M-1 $, DFT titik-N dari urutan keluaran y (n) cukup untuk mewakili y (n) dalam domain frekuensi dan fakta-fakta ini menyimpulkan bahwa perkalian DFT titik-N dari X (k ) dan H (k), diikuti dengan perhitungan IDFT titik-N harus menghasilkan y (n).

Ini berarti, konvolusi lingkaran titik-N dari x (n) dan H (n) dengan bantalan nol, sama dengan konvolusi linier x (n) dan h (n).

Jadi, DFT dapat digunakan untuk penyaringan linier.

Caution- N harus selalu lebih besar dari atau sama dengan $ L + M-1 $. Jika tidak, efek aliasing akan merusak urutan keluaran.