DSP - Pendahuluan Z-Transform

Discrete Time Fourier Transform (DTFT) ada untuk sinyal energi dan daya. Transformasi-Z juga ada untuk sinyal jenis energi atau Daya (NENP), sampai batas tertentu saja. Penggantian $z=e^{jw}$ digunakan untuk konversi Z-transformasi ke DTFT hanya untuk sinyal yang benar-benar dapat dijumlahkan.

Jadi, transformasi Z dari sinyal waktu diskrit x (n) dalam deret pangkat dapat ditulis sebagai -

$$X(z)=su{m}_{n-infty}^{}inftyx(n)Z^{-n}$$

Persamaan di atas mewakili persamaan transformasi Z dua sisi.

Umumnya, ketika sinyal diubah Z, itu dapat direpresentasikan sebagai -

$$X(Z)=Z[x(n)]$$

Atau $x(n)longleftrightarrowX(Z)$

Jika ini adalah sinyal waktu kontinu, maka transformasi Z tidak diperlukan karena transformasi Laplace digunakan. Namun, sinyal waktu diskrit hanya dapat dianalisis melalui transformasi-Z.

Wilayah Konvergensi

Region of Convergence adalah rentang variabel kompleks Z di bidang Z. Transformasi Z- sinyal terbatas atau konvergen. Jadi, ROC merepresentasikan himpunan nilai Z, di mana X (Z) memiliki nilai terbatas.

Properti ROC

• ROC tidak termasuk tiang apa pun.
• Untuk sinyal sisi kanan, ROC akan berada di luar lingkaran pada bidang Z.
• Untuk sinyal sisi kiri, ROC akan berada di dalam lingkaran pada bidang Z.
• Untuk stabilitas, ROC menyertakan lingkaran unit pada bidang-Z.
• Untuk sinyal dua sisi, ROC adalah cincin di bidang-Z.
• Untuk sinyal durasi hingga, ROC adalah seluruh bidang-Z.

Transformasi-Z secara unik dicirikan oleh -

• Ekspresi X (Z)
• KOP dari X (Z)

Sinyal dan ROC mereka

x (n)	X (Z)	ROC
$delta(n)$	$1$	Seluruh pesawat Z.
$U(n)$	$1/(1-Z^{-1})$	Mod (Z)> 1
$a^{n}u(n)$	$1/(1-a{Z}^{-1})$	Mod (Z)> Mod (a)
$-a^{n}u(-n-1)$	$1/(1-a{Z}^{-1})$	Mod (Z) <Mod (a)
$n{a}^{n}u(n)$	$a{Z}^{-1}/(1-a{Z}^{-1}{)}^2$	Mod (Z)> Mod (a)
$-a^{n}u(-n-1)$	$a{Z}^{-1}/(1-a{Z}^{-1}{)}^2$	Mod (Z) <Mod (a)
$U(n)cosomegan$	$(Z^2-Zcosomega)/(Z^2-2Zcosomega+1)$	Mod (Z)> 1
$U(n)sinomegan$	$(Zsinomega)/(Z^2-2Zcosomega+1)$	Mod (Z)> 1

Contoh

Mari kita temukan Z-transform dan ROC dari sinyal yang diberikan sebagai $x(n)=lbrace7,3,4,9,5rbrace$, di mana asal rangkaiannya adalah 3.

Solution - Menerapkan rumus yang kami miliki -

$X(z)=su{m}_{n=-infty}^{}inftyx(n)Z^{-n}$

$=su{m}_{n=-1}^{3}x(n)Z^{-n}$

$=x(-1)Z+x(0)+x(1)Z^{-1}+x(2)Z^{-2}+x(3)Z^{-3}$

$=7Z+3+4Z^{-1}+9Z^{-2}+5Z^{-3}$

ROC adalah seluruh bidang-Z tidak termasuk Z = 0, ∞, -∞