DSP - Pendahuluan Z-Transform
Discrete Time Fourier Transform (DTFT) ada untuk sinyal energi dan daya. Transformasi-Z juga ada untuk sinyal jenis energi atau Daya (NENP), sampai batas tertentu saja. Penggantian $ z = e ^ {jw} $ digunakan untuk konversi Z-transformasi ke DTFT hanya untuk sinyal yang benar-benar dapat dijumlahkan.
Jadi, transformasi Z dari sinyal waktu diskrit x (n) dalam deret pangkat dapat ditulis sebagai -
$$ X (z) = \ sum_ {n- \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $$Persamaan di atas mewakili persamaan transformasi Z dua sisi.
Umumnya, ketika sinyal diubah Z, itu dapat direpresentasikan sebagai -
$$ X (Z) = Z [x (n)] $$Atau $ x (n) \ longleftrightarrow X (Z) $
Jika ini adalah sinyal waktu kontinu, maka transformasi Z tidak diperlukan karena transformasi Laplace digunakan. Namun, sinyal waktu diskrit hanya dapat dianalisis melalui transformasi-Z.
Wilayah Konvergensi
Region of Convergence adalah rentang variabel kompleks Z di bidang Z. Transformasi Z- sinyal terbatas atau konvergen. Jadi, ROC merepresentasikan himpunan nilai Z, di mana X (Z) memiliki nilai terbatas.
Properti ROC
- ROC tidak termasuk tiang apa pun.
- Untuk sinyal sisi kanan, ROC akan berada di luar lingkaran pada bidang Z.
- Untuk sinyal sisi kiri, ROC akan berada di dalam lingkaran pada bidang Z.
- Untuk stabilitas, ROC menyertakan lingkaran unit pada bidang-Z.
- Untuk sinyal dua sisi, ROC adalah cincin di bidang-Z.
- Untuk sinyal durasi hingga, ROC adalah seluruh bidang-Z.
Transformasi-Z secara unik dicirikan oleh -
- Ekspresi X (Z)
- KOP dari X (Z)
Sinyal dan ROC mereka
| x (n) | X (Z) | ROC |
|---|---|---|
| $ \ delta (n) $ | $ 1 $ | Seluruh pesawat Z. |
| $ U (n) $ | $ 1 / (1-Z ^ {- 1}) $ | Mod (Z)> 1 |
| $ a ^ nu (n) $ | $ 1 / (1-aZ ^ {- 1}) $ | Mod (Z)> Mod (a) |
| $ -a ^ nu (-n-1) $ | $ 1 / (1-aZ ^ {- 1}) $ | Mod (Z) <Mod (a) |
| $ na ^ nu (n) $ | $ aZ ^ {- 1} / (1-aZ ^ {- 1}) ^ 2 $ | Mod (Z)> Mod (a) |
| $ -a ^ nu (-n-1) $ | $ aZ ^ {- 1} / (1-aZ ^ {- 1}) ^ 2 $ | Mod (Z) <Mod (a) |
| $ U (n) \ cos \ omega n $ | $ (Z ^ 2-Z \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $ | Mod (Z)> 1 |
| $ U (n) \ sin \ omega n $ | $ (Z \ sin \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $ | Mod (Z)> 1 |
Contoh
Mari kita temukan Z-transform dan ROC dari sinyal yang diberikan sebagai $ x (n) = \ lbrace 7,3,4,9,5 \ rbrace $, di mana asal rangkaiannya adalah 3.
Solution - Menerapkan rumus yang kami miliki -
$ X (z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $
$ = \ sum_ {n = -1} ^ 3 x (n) Z ^ {- n} $
$ = x (-1) Z + x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + x (3) Z ^ {- 3} $
$ = 7Z + 3 + 4Z ^ {- 1} + 9Z ^ {- 2} + 5Z ^ {- 3} $
ROC adalah seluruh bidang-Z tidak termasuk Z = 0, ∞, -∞