DSP - Z-Transform Inverse
Jika kita ingin menganalisis sistem, yang sudah direpresentasikan dalam domain frekuensi, sebagai sinyal waktu diskrit maka kita pergi untuk transformasi Z Invers.
Secara matematis, ini dapat direpresentasikan sebagai;
$$ x (n) = Z ^ {- 1} X (Z) $$dimana x (n) adalah sinyal dalam domain waktu dan X (Z) adalah sinyal dalam domain frekuensi.
Jika kita ingin merepresentasikan persamaan di atas dalam format integral maka kita dapat menuliskannya sebagai
$$ x (n) = (\ frac {1} {2 \ Pi j}) \ oint X (Z) Z ^ {- 1} dz $$Di sini, integral berada di atas lintasan tertutup C. Lintasan ini berada dalam KOP dari x (z) dan memang berisi titik asal.
Metode untuk Menemukan Invers Z-Transform
Ketika analisis diperlukan dalam format diskrit, kami mengubah sinyal domain frekuensi kembali ke format diskrit melalui transformasi Z terbalik. Kami mengikuti empat cara berikut untuk menentukan transformasi Z terbalik.
- Metode Divisi Panjang
- Metode ekspansi Fraksi Parsial
- Metode integral residu atau kontur
Metode Divisi Panjang
Dalam metode ini, transformasi Z dari sinyal x (z) dapat direpresentasikan sebagai rasio polinomial seperti yang ditunjukkan di bawah ini;
$$ x (z) = N (Z) / D (Z) $$Sekarang, jika kita terus membagi pembilang dengan penyebut, maka kita akan mendapatkan rangkaian seperti gambar di bawah ini
$$ X (z) = x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... $$Urutan di atas mewakili rangkaian transformasi Z terbalik dari sinyal yang diberikan (untuk n≥0) dan sistem di atas adalah kausal.
Namun untuk n <0 deret dapat ditulis sebagai;
$$ x (z) = x (-1) Z ^ 1 + x (-2) Z ^ 2 + x (-3) Z ^ 3 + ... \ quad ... \ quad ... $$Metode Ekspansi Fraksi Parsial
Di sini juga sinyal dinyatakan pertama kali dalam bentuk N (z) / D (z).
Jika itu adalah pecahan rasional akan direpresentasikan sebagai berikut;
$ x (z) = b_0 + b_1Z ^ {- 1} + b_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + b_mZ ^ {- m}) / (a_0 + a_1Z ^ { -1} + a_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + a_nZ ^ {- N}) $
Yang di atas tidak tepat jika m <n dan ≠ 0
Jika rasio tersebut tidak tepat (yaitu Tidak tepat), maka kita harus mengubahnya menjadi bentuk yang tepat untuk menyelesaikannya.
Metode Integral Residu atau Kontur
Dalam metode ini, kita mendapatkan invers Z-transform x (n) dengan menjumlahkan residu $ [x (z) Z ^ {n-1}] $ di semua kutub. Secara matematis, ini dapat dinyatakan sebagai
$$ x (n) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {all \ quad poles \ quad X (z)} residu \ kuad dari [x (z) Z ^ {n-1}] $$Di sini, residu untuk setiap kutub orde m di $ z = \ beta $ adalah
$$ Residu = \ frac {1} {(m-1)!} \ Lim_ {Z \ rightarrow \ beta} \ lbrace \ frac {d ^ {m-1}} {dZ ^ {m-1}} \ lbrace (z- \ beta) ^ mX (z) Z ^ {n-1} \ rbrace $$