Pemrosesan Sinyal Digital - Pengenalan DFT

Seperti sinyal waktu kontinu Transformasi Fourier, Transformasi Fourier waktu diskrit dapat digunakan untuk merepresentasikan urutan diskrit ke dalam representasi domain frekuensi ekuivalennya dan sistem waktu diskrit LTI serta mengembangkan berbagai algoritme komputasi.

X (jω) dalam FT kontinu, adalah fungsi kontinu dari x (n). Namun, DFT berurusan dengan merepresentasikan x (n) dengan sampel spektrum X (ω). Oleh karena itu, alat matematika ini sangat penting secara komputasi dalam representasi yang nyaman. Baik urutan periodik maupun non-periodik dapat diproses melalui alat ini. Urutan periodik perlu diambil sampelnya dengan memperpanjang periode hingga tak terbatas.

Pengambilan Sampel Domain Frekuensi

Dari pendahuluan, jelas bahwa kita perlu mengetahui bagaimana melanjutkan melalui sampling domain frekuensi yaitu sampling X (ω). Oleh karena itu, hubungan antara transformasi Fourier sampel dan DFT dibentuk dengan cara berikut.

Demikian pula, urutan periodik dapat disesuaikan dengan alat ini dengan memperpanjang periode N hingga tak terbatas.

Misalkan urutan Non periodik menjadi, $ X (n) = \ lim_ {N \ to \ infty} x_N (n) $

Mendefinisikan transformasi Fouriernya,

$ X (\ omega) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- jwn} X (K \ delta \ omega) $ ... eq (1)

Di sini, X (ω) diambil sampelnya secara berkala, pada setiap interval δω radian.

Karena X (ω) periodik dalam 2π radian, kami hanya memerlukan sampel dalam kisaran fundamental. Sampel diambil setelah interval jarak yang sama dalam rentang frekuensi 0≤ω≤2π. Spasi di antara interval yang setara adalah $ \ delta \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $ radian.

Sekarang mengevaluasi, $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N}, $ ... eq ( 2)

dimana k = 0,1, …… N-1

Setelah membagi di atas, dan menukar urutan penjumlahan

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} [\ displaystyle \ sum \ limit_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl)] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ ... eq (3)

$ \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) = x_p (n) = a \ quad periodic \ quad function \ quad of \ quad period \ quad N \ quad dan \ quad-nya \ quad fourier \ quad series \ quad = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} C_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $

dimana, n = 0,1,… .., N-1; 'p'- singkatan dari entitas atau fungsi periodik

Koefisien Fourier adalah,

$ C_k = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_p (n) e ^ {- j2 \ pi nk / T } $ k = 0,1,…, N- 1 ... persamaan (4)

Membandingkan persamaan 3 dan 4, kita dapatkan;

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) $ k = 0,1,…, N-1 ... eq (5)

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {jw}) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_p (n) e ^ { -j2 \ pi nk / N} $ ... eq (6)

Dari ekspansi seri Fourier,

$ x_p (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limit_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (\ frac {2 \ pi} {N} k) e ^ {j2 \ pi nk / N} $ ... eq (7)

Dimana n = 0,1,…, N-1

Di sini, kami mendapat sinyal periodik dari X (ω). $ x (n) $ dapat diekstrak dari $ x_p (n) $ saja, jika tidak ada aliasing di domain waktu. $ N \ geq L $

N = periode $ x_p (n) $ L = periode $ x (n) $

$ x (n) = \ mulai {kasus} x_p (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0, & Jika tidak \ end {kasus} $

Pemetaan dilakukan dengan cara ini.

Properti DFT

Linearitas

Ini menyatakan bahwa DFT dari kombinasi sinyal sama dengan jumlah DFT sinyal individu. Mari kita ambil dua sinyal x ₁ (n) dan x ₂ (n), yang DFT-nya adalah X ₁ (ω) dan X ₂ (ω). Jadi jika

$ x_1 (n) \ rightarrow X_1 (\ omega) $ dan $ x_2 (n) \ rightarrow X_2 (\ omega) $

Lalu $ ax_1 (n) + bx_2 (n) \ rightarrow aX_1 (\ omega) + bX_2 (\ omega) $

dimana a dan b adalah konstanta.

Simetri

Properti simetri DFT dapat diturunkan dengan cara yang sama seperti kita menurunkan properti simetri DTFT. Kita tahu bahwa DFT dari barisan x (n) dilambangkan dengan X (K). Sekarang, jika x (n) dan X (K) adalah barisan bernilai kompleks, maka dapat direpresentasikan sebagai berikut

$ x (n) = x_R (n) + jx_1 (n), 0 \ leq n \ leq N-1 $

Dan $ X (K) = X_R (K) + jX_1 (K), 0 \ leq K \ leq N-1 $

Properti Dualitas

Mari kita pertimbangkan sinyal x (n), yang DFT-nya diberikan sebagai X (K). Biarkan urutan durasi yang terbatas menjadi X (N). Kemudian menurut teorema dualitas,

Jika, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Kemudian, $ X (N) \ longleftrightarrow Nx [((- k)) _ N] $

Jadi, dengan menggunakan teorema ini jika kita mengetahui DFT, kita dapat dengan mudah menemukan urutan durasi hingga.

Properti Konjugasi Kompleks

Misalkan, ada sinyal x (n), yang DFT-nya juga kita kenal sebagai X (K). Sekarang, jika konjugasi kompleks dari sinyal diberikan sebagai x * (n), maka kita dapat dengan mudah mencari DFT tanpa melakukan banyak perhitungan dengan menggunakan teorema di bawah ini.

Jika, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Kemudian, $ x * (n) \ longleftrightarrow X * ((K)) _ N = X * (NK) $

Pergeseran Frekuensi Melingkar

Perkalian deret x (n) dengan deret eksponensial kompleks $ e ^ {j2 \ Pi kn / N} $ setara dengan pergeseran melingkar DFT sebesar satuan L dalam frekuensi. Ini adalah properti ganda untuk perpindahan waktu melingkar.

Jika, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Kemudian, $ x (n) e ^ {j2 \ Pi Kn / N} \ longleftrightarrow X ((KL)) _ N $

Perkalian Dua Urutan

Jika ada dua sinyal x ₁ (n) dan x ₂ (n) dan masing-masing DFT adalah X ₁ (k) dan X ₂ (K), maka perkalian sinyal dalam urutan waktu sesuai dengan konvolusi melingkar dari DFT mereka.

Jika, $ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (K) \ quad \ & \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (K) $

Teorema Parseval

Untuk urutan nilai kompleks x (n) dan y (n), secara umum

Jika, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) \ quad \ & \ quad y (n) \ longleftrightarrow Y (K) $

Kemudian, $ \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X ( K) Y ^ * (K) $