$3^{123} \mod 100$

당신은 정말 맞습니다. 그러나 한 가지 사소한 개선이 있습니다. 은 Using 카 마이클 기능을 , 당신의 작은 전원한다고 주장 할 수$3$즉 $3^{\lambda(100)}=3^{20}\equiv 1\bmod 100$. 의 Carmichael 함수 는 인수가 짝수이고 Euler totient가 다음의 배수 일 때 Euler totient 함수의 절반 을 나눕니다.$4$, 이는 사실입니다. $\lambda(100)$; 그러므로$3^{20}$ 대체 가능 $3^{40}$ 논쟁에서.

보다 기본적인 수준에서 렌더링 할 수 있습니다. $3^4=80+1$ 양쪽을 5 제곱으로 올리면 $3^{20}\equiv1\bmod 100$ 이항 정리로 $(80+1)^5$ 배수를 준다 $100$ ...을 더한 $1$.

맞습니다. 대체 솔루션 :

$$ \begin{align} 3^{123}&=\left(3^{2}\right)^{61}\cdot 3\\ &=\left(10-1\right)^{61}\cdot 3\\ &\equiv\left(\binom{61}{1}10^{1}\left(-1\right)^{60}-1\right)\cdot 3 &\mod{100}\\ &\equiv 27 &\mod100 \end{align} $$

옳은! 나는 당신의 논리가 올바르게 유지되었다고 믿습니다. 내가 볼 수있는 한 이것은 페르마 정리의 오일러 일반화의 올바른 적용입니다.$\phi(100) = 40$ 따라서 $3^{40} \cong 1 \mod 100$

더 설득력이 필요하면 간단히 입력하십시오. $3^{123}$ 으로 https://www.calculatorsoup.com/calculators/algebra/large-exponent-calculator.php.

다시 말하지만, 정말로 필요하지는 않지만 구체적인 증거가 필요하다면 거기에 있습니다.

OP는 패턴을 찾는 것으로 시작했지만

... 많은 고통스러운 검사에도 불구하고 명백한 유용한 패턴을 얻지 못했습니다.

빛 이론을 사용하여 패턴의 형태와 구조를 실제로 예측할 수 있습니다.

관찰하십시오 $a \in \{0,2,4,6,8\}$ 과 $b \in \{1,3,7,9\}$ 과

$\quad 3 \times (10 a + b) \equiv 10 \,a' + b' \pmod{100} \text{ with } a',b' \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

사실 $a' \in \{0,2,4,6,8\}$ 과 $b' \in \{1,3,7,9\}$.

이것이 우리의 주요 (이론적) 패턴이며

$\quad 3^1 \equiv 03 \pmod{100}$
$\quad 3^2 \equiv 09 \pmod{100}$
$\quad 3^3 \equiv 27 \pmod{100}$
$\quad 3^4 \equiv 81 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$
$\quad 3^5 \equiv 43 \pmod{100}$

단위 숫자 가 이동 하는지 확인하기 쉽습니다.

$\quad 3 \mapsto 9 \mapsto 7 \mapsto 1$

이 4 개의주기 각각 내부.

그걸 고려해서 $3$A는 단위 , 우리는 이들 중 하나를 주장 할 수 있습니다$4$-주기가 끝날 것입니다

$$\quad 01 \quad \text{the multiplicative identify}$$

그리고 식별에 도달 할 때까지 반복이 불가능합니다.

십 자리 는 세트를 순환 할 수만 있기 때문에$\{0,2,4,6,8\}$,이 중 최대 5 개 $4$-계산해야하는주기.

계산 $2^{nd}$ $4$-주기:

$\quad 3^5 \equiv 43 \pmod{100}$
$\quad 3^6 \equiv 29 \pmod{100}$
$\quad 3^7 \equiv 87 \pmod{100}$
$\quad 3^8 \equiv 61 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

계산 $3^{rd}$ $4$-주기:

$\quad 3^9 \equiv 83 \pmod{100}$
$\quad 3^{10} \equiv 49 \pmod{100}$
$\quad 3^{11} \equiv 47 \pmod{100}$
$\quad 3^{12} \equiv 41 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

계산 $4^{th}$ $4$-주기:

$\quad 3^{13} \equiv 23 \pmod{100}$
$\quad 3^{14} \equiv 69 \pmod{100}$
$\quad 3^{15} \equiv 07 \pmod{100}$
$\quad 3^{16} \equiv 21 \pmod{100}$
$\quad\text{-------------------------}$

이 시점에서 우리는 실제로 계산할 필요가 없습니다. $5^{th}$ $4$-사이클이 마지막이어야한다는 것을 알고 있기 때문입니다.

이제 우리는

$\tag 1 3^{20} \equiv 1 \pmod{100}$

OP의 질문에 대한 나머지 세부 정보를 해결합니다.