3D 라플라시안 연산자

Question

Laplacian 연산자에 대해 5 점 스텐실 유한 차이에 해당하는 것을 찾을 수 없습니다.

나를 위해 2 차원에서 유한 차분 방법을 사용하는 것이 분명합니다. $$ \nabla_{2D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0} + u_{-1,0} + u_{0,1} + u_{0,-1} -4 u_{0,0} \right) $$ (h는 크기 그리드 / 단계)

하지만 3 차원의 경우 완전히 대칭인지는 모르겠습니다. 3 차원을 가리키는 용어 만 추가해도 되나요?$$ \nabla_{3D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0,0} + u_{-1,0,0} + u_{0,1,0} + u_{0,-1,0} + u_{0,0,1} + u_{0,0,-1} -6 u_{0,0,0} \right) $$

3D Laplacian에 대한 다양한 정확도 용어를 찾을 수있는 출처도 도움이 될 것입니다.

Answer 1

예, 그 유한 한 차이가 맞습니다. 각 좌표의 라플라스 연산자에 대해 각 방향의 유한 한 차이를 사용하여 얻을 수 있습니다.

\begin{align} \nabla^2 u =& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\\ \approx& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) - 2u(x, y, z) + u(x -h, y, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y + h, z) - 2u(x, y, z) + u(x, y - h, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y, z + h) - 2u(x, y, z) + u(x, y, z - h)]\\ =& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) + u(x -h, y, z) + u(x, y + h, z) + u(x, y - h, z)\\ &+ u(x, y, z + h) + u(x, y, z - h) - 6u(x, y, z)]\, . \end{align}

또는 스텐실의 점을 통과하는 다항식을 보간 한 다음 라플라시안을 계산하고 다음에서 평가할 수 있습니다. $(x, y, z)$.