아벨 그룹 제타 함수

Question

허락하다 $s \in \mathbb{C}$. 알려진 것$$\zeta_{\mathrm{ab}}(s) := \sum_G \frac{1}{o(G)^s} \tag{1}$$ 모든 유한 아벨 그룹에 대한 합계 $G$동형까지? 유한 아벨 그룹에 대한 1 차 분해 정리에 따르면$\zeta_{\mathrm{ab}}(s)$ 오일러 제품이 있어야합니다. $$\zeta_{\mathrm{ab}}(s) = \prod_C \Big(1 - \frac{1}{o(C)^s}\Big)^{-1} \tag{2}$$ 모든 (사소하지 않은) 주요 전력 순서의 순환 그룹에 대해.

예를 들어 (1)과 (2)의 수렴 횡좌표를 알고 싶습니다. $\zeta_{\mathrm{ab}}(s)$ 변형 확장이 있습니다. $\mathbb{C}$, 영점과 극점 등에 대해 알려진 것 등

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일부 관찰 : $$\zeta_{\mathrm{ab}}(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{2}{4^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{6^s} + \frac{1}{7^s} + \frac{3}{8^s} + \frac{2}{9^s} + \ldots = \sum_{n=1}^\infty \frac{\nu_{\mathrm{ab}}(n)}{n^s} \tag{3}$$ 어디 $\nu_{\mathrm{ab}}(n)$ 아벨 질서 그룹의 수입니다. $n$( OEIS : 688 ). 이후$\nu_{\mathrm{ab}}(n)$ 곱하기 때문에 (3) Dirichlet 시리즈가 $\zeta_{\mathrm{ab}}(s)$. 파티션 기능 측면 에서 우리는$$\nu_{\mathrm{ab}}(n) = \prod_{p \mid n} p(\operatorname{ord}_p(n)).$$

특히 $\nu_{\mathrm{ab}}(p^k) = p(k)$(표기법 은 유감입니다). 공식적으로 다음과 같습니다.$$\zeta_{\mathrm{ab}}(s) = \prod_p \sum_{k \ge 0} p(k) p^{-ks} \tag{4}$$수렴하는 곳마다. 모든 통찰력이나 참조를 주시면 감사하겠습니다!

Answer 1

내가 쓸게 $a_n$ 아벨 족 질서 그룹의 수 $n$동형까지. 그럼 참으로$a_n$ 우리 곱셈 : $a_{mn}=a_ma_n$ ...에 대한 $\gcd(m,n)=1$따라서 제타 함수에는 오일러 곱이 있습니다.

프라임 $p$, 주문 그룹 $p^k$ 형태가있다 $C_{p^{t_1}}\times\cdots\times C_{p^{t_r}}$ 유일하게 $t_1\ge\cdots\ge t_r\ge1$ 과 $t_1+\cdots+t_r=k$. 그들은 파티션 에 해당합니다$k$, 그래서 $a_{p^k}=p(k)$, $k$-번째 파티션 번호 (사용중인 $p$ 여기에 두 가지 다른 것).

그래서 $$\sum_{k=0}^\infty\frac{a_{p^k}}{p^{ks}} =\sum_{k=0}^\infty\frac{p(k)}{p^{ks}}=\prod_{j=1}^\infty\left(1-\frac{1}{p^{js}}\right)^{-1}$$잘 알려진 신원으로. 우리는$$\zeta_{\text ab}(s)=\prod_p\prod_{j=1}^\infty\left(1-\frac{1}{p^{js}}\right)^{-1} =\prod_{j=1}^\infty\prod_p\left(1-\frac{1}{p^{js}}\right)^{-1} =\prod_{j=1}^\infty\zeta(js)$$ 적어도 공식적으로.