Abel 기준 증명
다음 진술을 증명하고 싶습니다.
하자 $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$ 수렴 시리즈 및 $\left(b_k\right)_{n\in\mathbb{N}}$단조 및 경계 시퀀스. 그때$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ 또한 수렴합니다.
이 문제에 대해 이미 몇 가지 질문이 있다는 것을 알고 있지만 대부분 추가 가정이 있습니다 (예 : $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ 와 $b_k\geq 0$ 모든 $k$).
내 접근 방식 :
우리는 정의합니다 $A_n:=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k$. 같이$A_n$ 수렴은 경계가 있습니다 $A$ 그런 $|A_n|\leq A$ 모든 $n$. 우리는 알고 있습니다$\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ 수렴하므로 시퀀스 $\left(A_kb_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$또한 수렴합니다 (두 수렴 시퀀스의 곱). 하자$n_1$ 과 $n_2$ 모두를위한 두 개의 인덱스 $n,m$ 와 $n>m>n_1$ 그것은 보유 $|A_nb_n-A_mb_m|<\frac{\epsilon}{2}$ 그리고 모두를 위해 $n,m$ 와 $n>m>n_2$ 그것은 보유 $|b_n-b_m|<\frac{\epsilon}{2A}$. 이제 우리는$n_0:=\max\{n_1,n_2\}$. 이를 염두에두고 우리는 Abel의 기본형 (부분 별 요약)을 적용합니다.$n>m>n_0$:
$$ |\sum\limits_{k=m+1}^{n} a_kb_k|=|A_nb_n-A_mb_m+\sum\limits_{k=m}^{n-1} A_k(b_k-b_{k+1})|\leq |A_nb_n-A_mb_m|+\sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k(b_k-b_{k+1})| \cdots $$ 만약 $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ 다음과 같이 단조롭게 감소합니다. $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_k-b_{k+1})\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_k-b_{k+1})=\frac{\epsilon}{2}+A (b_m-b_n)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$
만약 $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ 다음과 같이 단조롭게 증가합니다. $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_{k+1}-b_k)\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_{k+1}-b_k)=\frac{\epsilon}{2}+A (b_n-b_m)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$ 따라서 두 경우 모두 $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ Cauchy 기준을 충족하므로 수렴합니다.
이것이 맞습니까, 아니면 더 우아하고 빠른 접근 방식이 있습니까?
답변
또 다른 접근법의 경우 부분합의 시퀀스가 코시 기준을 사용하지 않고 수렴한다는 것을 보여줄 수 있습니다. 우리는 한계가 있습니다$\lim_{n \to \infty}A_n = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^na_k =A$ 과 $\lim_{n\to \infty}b_n = b .$
부분으로 합산하면
$$S_n =\sum_{k=1}^n a_kb_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^n (A_k - A_{k-1})b_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^{n} A_k b_k- \sum_{k=2}^{n} A_{k-1} b_k \\ = \sum_{k=1}^{n} A_k b_k- \sum_{k=1}^{n-1} A_{k} b_{k+1} = A_nb_{n+1} + \sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1})$$
시리즈 $\sum(b_k - b_{k-1}) $ 이후 수렴 $\sum_{k=1}^n (b_k - b_{k+1}) = b_1 - b_{n+1} \to b_1 - b$ 같이 $n \to \infty$. 이후$(A_k)$ 제한된 시퀀스이며 용어 $(b_k- b_{k+1})$ 모두 같은 기호입니다. $\sum A_k(b_k - b_{k+1})$ 수렴합니다.
따라서 시리즈 $\sum a_kb_k$ 이후 수렴
$$\sum_{k=1}^\infty a_kb_k = \lim_{n \to \infty}A_nb_{n+1} + \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1}) = Ab + \sum_{k=1}^\infty A_k(b_k - b_{k+1})$$
Dirichlet의 기준을 따릅니다. 실제로$b_k \le b_{k+1}$ 과 $\lim b_k = b$.
그때
\begin{align} \sum_{k=1}^n a_k b_k &= \sum_{k=1}^n a_k b - a_k (b - b_k) \\ &= b\sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^n a_k (b - b_k). \end{align}
첫 번째 합계는 가설이므로 수렴하고 두 번째 합계의 수렴은 앞서 언급 한 정리를 따릅니다.
그러나 Dirichlet의 기준에 대한 일반적인 증명은 부분 별 요약을 통해 이루어지기 때문에 이것은 당신의 주장에 대한 개선이 아닙니다.