알다: $2n+1\le 2^n$ 귀납법으로

Question

나는 귀납법을 사용하여 불평등을 확인하는 데 어려움을 겪고 있으며 문제에 대한 지침을 원했습니다. 이전에 비슷한 질문을했지만이 문제는 다르며 나머지 혼란을 명확히하는 데 목적이 있습니다.

문제는 이것이다 : 불평등 확인 $2n+1 \le 2^n$ ...에 대한 $n = 3,4...$

교수님의 해결책과 함께 문제의 스크린 샷이 있지만 그녀의 해결책을 전혀 이해하지 못합니다.

나는 불평등이있는 귀납법이이 과정에 의해 작동한다는 것을 이해합니다 : 당신이 증명하려는 불평등의 왼쪽을 A가되게합니다. 귀납적 가설의 왼쪽을 B로, 오른쪽을 C로 두십시오. B <C를 알고 있기 때문에 가설을 가지고 A <B가 사실임을 보여 주어야합니다. 그렇다면 A <C를 끝낼 수 있습니다.

이 문제를 어떻게 해결할 수 있습니까?

Answer 1

최소 자연수보다 큰 모든 자연수에 대한 진술을 증명해야하는 문제에서 $M$, 가장 논리적 인 방법은

• 보다 큰 각 자연수에 대해 증명하십시오. $M$, 단일 자연수 $n$, 쉽게 할 수 있습니다. $n$ 양쪽에서 진술이 사실인지 아닌지 확인할 수 있습니다.
• 그러나 그들 중 무한히 많은 것이 있으며 모든 자연수에 대한 진술을 증명하려고 시도하는 것은 불가능합니다
• 그래서 당신 은 후계자에 대한 성명을 결론 짓는 마법의 방법 을 생각해 내려고 합니다.$n$ (즉 $n$, 즉 $n+1$) 이미 해당 진술을 알고있는 경우 $n$.
• 그 마법의 방법 을 사용하여 다음의 작은 값에 대해 진술이 사실임을 확인할 수 있다면$n$ (가장 작은 값은 $n$여기 가져가도 돼요? 이것의$3$)에 대해 결론을 내릴 수 있습니다. $n+1$의 후속 제품 $n$ (즉 $4$), 지금 부터$n=4$, 마법의 방법 을 사용하여 후임자를 위해 결론을 내릴 수 있습니다.$4$, 즉 $5$.
• 따라서 진술이 어떤 가치에 대해 사실이라는 지식과 결합 된 마법의 방법$n$, 첫 번째 포인트에서 언급 한 방법으로 확인할 수 있습니다. 즉, $n$, 마법의 방법을 사용하여 서로 떨어지는 도미노 시퀀스처럼 증명할 것입니다. $true\ for\ n=3\stackrel{magical way}{\implies} \ true \ for\ n=4\stackrel{magical way}{\implies} \ true \ for\ n=5\implies\cdots$ 따라서 모든 자연수에 대한 진술을 증명 $>M$

이제해야 할 일은 $4^{th}$ 총알 $$2.3+1\le 2^3 \ i.e. \ 7\le 8 $$ 물론 사실입니다.

그리고 마법의 방법 은 귀납의 길입니다. 즉, 진술이 사실이라고 가정합니다.$n=k$ 어디 $k\ge 3$ (문제에서 주어진대로), 그러면 $$Induction\ hypothesis:\ 2k+1\le 2^k$$ 그리고 당신은 도달해야 $$Goal: \ 2(k+1)+1\le 2^{k+1}$$이제, 도달 목표 로부터 유도 가설을 , 당신은에 의해 전자의 LHS 같은 후자 모양의 LHS를 만들기 위해 노력하고 있습니다 유효한 수학 연산을 수행 (Riemann'sPointyNose 행한 @ 정확히 무엇 인),
또는
당신은 시도 할 수 후자의 RHS를 전자의 RHS처럼 보이게하기 위해 진행하면 다음과 같이됩니다.$$Induction\ Hypothesis:\ 2k+1\le 2^k \\ \text{multiply both sides by $2$ to make the RHSs look same} \\ \implies 2(2k+1)\le 2.2^k=2^{k+1} \\ \implies 2^{k+1} \ge 4k+2 = 2k+2k+2 \ge 2k+3 \\ (\text{last step is justified as }\\ \text{$k \ ge 3 \ 2k \ ge 6 \ 2k + 2 \ ge 8 \ ge 3 \ 2k + 2k + 2 \ ge 2k + 3을 의미$})\\ \text{and from the last step }, 2^{k+1}\ge 2k+3 =2k+2+1=2(k+1)+1\\ \implies 2(k+1)+1 \le 2^{k+1}$$ 후계자에 대한 진술을 증명합니다. $k$, 즉 $k+1$. 따라서 우리의 마법적인 방법 은 자연수에 대한 진술을 증명 하는 일련의 유효한 수학적 연산 일뿐입니다.$k+1$ 전임자에 대한 진술이 이미 사실로 알려진 경우, 즉 $k$.

Answer 2

당신의 증거는 괜찮아 보입니다.

• 에 대한 $n=3$ 진술은 다음을 유지합니다. $2\cdot 3+1=7<2^3=8$

• 한다고 가정 $n\geq 3$ 그리고 진술은 $n$. 그런 다음$n+1$ $$ \begin{align} 2(n+1)+1=(2n+1) +2&\leq 2^n+2\\ &\leq 2^n+2^n=2^{n+1} \end{align} $$

이것은 진술이 모든 $n\geq 3$ (유효한 $3$, 다음으로 $3\geq 3$ 유효한 stament $3+1=4$; 유효한 진술$4$ 과 $4\geq 3$, 따라서 유효한 문 $4+1=5$; 등등.)

여기서 핵심은 다음과 같은 사실을 사용하는 것입니다. $a\leq b$, 모든 실수에 대해 $c$ $$ a+c \leq b+c$$

문제에서 손, $2\leq 2^n$ ...에 대한 $n\geq 3$ 그래서 $2^n+2\leq 2^n+2^n$.

Answer 3

MSE에서 귀납에 대한 많은 토론을 찾을 수 있습니다.

귀납법에 의한 증명의 요점은

1. 기본 경우에 따라 우리는 $k_0\in \mathbb N$ 그런 $P(k_0)$ 보유
2. 귀납 단계를 통해 우리는 $P(k-1) \, \text{holds} \implies P(k)\, \text{holds}$ 모든 $k-1\ge k_0$

그런 다음 두 결과를 사용하여 $P(k_0)$ 보류, $P(k_0+1)$ 보류, $P(k_0+2)$ 보류 등, 즉 $P(n)$ 모든 것을 보유 $n\ge k_0$.

귀하의 예에서 우리는

1. 기본 케이스: $k_0=3 \implies 7=2\cdot 3+1 \le 2^3=8$

2. 유도 단계 : 우리는 다음과 같은 가설에 의해 사실이라고 가정합니다. $2k-1\le 2^{k-1}$ 그리고 우리는 이것으로부터 우리가 추론 할 수 있다는 것을 증명해야합니다 $2k+1\le 2^{k}$ 어떠한 것도 $k-1\ge 3$. 우리는 다음과 같이 진행합니다

$$2k+1=(2k-1)+2 \stackrel{\color{red}{Ind. Hyp.}}\le 2^{k-1}+2 \quad \stackrel{\color{red}{2<2^{k-1}\, k-1\ge 3}} \le \quad 2^{k-1}+2^{k-1}=2\cdot 2^{k-1}=2^k$$

그건

$$2k+1\le 2^k$$

증거를 완성합니다.

관련도 참조

• 귀납법에 의한 증명-그것에 대한 설명
• 수학적 귀납법 (이론)

Answer 4

나는 불평등이있는 귀납법이이 과정에 의해 작동한다는 것을 이해합니다 : 당신이 증명하려는 불평등의 왼쪽을 A가되게합니다. 귀납적 가설의 왼쪽을 B로, 오른쪽을 C로 두십시오. B <C를 알고 있기 때문에 가설을 가지고 A <B가 사실임을 보여 주어야합니다. 그렇다면 A <C를 끝낼 수 있습니다.

나는 불평등이 어떻게 연결되는지에 대한 가정이 일반적으로 실패하기 때문에 이것을 일반적으로 불평등의 귀납적 증명에 적용하는 것을 권장하지 않습니다. 대신 항상 형식의 어떤 추론을$P(k)\to P(k+1)$유효한 것으로 입증되어야합니다. 이 문제의 경우$2k+1\le 2^k$ 와 $k\ge3$ 그때 $2k+3\le 2^{k+1}$. 스크린 샷 기법의 변형은 첫 번째$\le$ 에 $2k+3\le 2(2k+1)\le 2(2^k)=2^{k+1}$ (다른 하나는 귀납적 가설을 따릅니다).

각 문제를 즉석에서 처리해야하지만 일반적으로 순서를 유지하는 기능이 있습니다. $f(k)\le g(k)$ ...에 $f(k+1)\le g(k+1)$ 당신이 사용할 수있는$$f(k+1)\le h(f(k),k)\le h(g(k),k)\le g(k+1)f(k+1),$$또는 변형 $<$ 또는 $=$ 일부 또는 전부를 대체합니다 $\le$에스. 귀하의 접근 방식은$h(u,k)=u+2$, 그래서 첫 번째 $\le$ 된다 $=$; 내 것이 함께한다$h(u,k)=2u$, 그래서 마지막 $\le$ 된다 $=$.

Answer 5

그래서 ... 귀납법의 개념은 당신이 일련의 진술을 가지고 있고,이 모든 진술을 서로 관련시킴으로써 증명한다는 것입니다. 이 경우 우리는 다음과 같은 일련의 진술을 참조합니다.${\mathbb{P}(n)}$. 그래서:

$${\mathbb{P}(3) := 2(3) + 1 \leq 2^{3}}$$

$${\mathbb{P}(4) := 2(4) + 1 \leq 2^{4}}$$

$${...}$$

$${\mathbb{P}(n):= 2(n) + 1 \leq 2^n}$$

아이디어는 만약 우리가 그것을 보여줄 수 있다면 ${\mathbb{P(n)}}$ 사실이라는 것은 ${\mathbb{P}(n+1)}$ 사실이며 ${\mathbb{P}(3)}$ 사실입니다 ... 우리는 그것을 가질 것입니다 ${\mathbb{P}(4)}$ 또한 사실이며 ${\mathbb{P}(5)}$ 과 ${\mathbb{P}(6)}$... 등 등등. 이것이 바로 당신의 선생님이 한 일입니다. 그들은 기본 사례를 보여주었습니다${n=3}$ 사실이었다 (즉 그들은 ${2(3) + 1 \leq 2^3}$), 그런 다음 진술이 사실인지 보여주었습니다. ${k-1}$, 또한 ${(k-1)+1=k}$:

$${\mathbb{P}(k-1):=2(k-1)+1\leq 2^{k-1}}$$

이것은 말하는 것과 같습니다

$${\mathbb{P}(k-1):=2k-1\leq 2^{k-1}}$$

우리는 이것이 사실이라고 가정하고 있습니다. 그런 다음 양쪽에 두 개를 추가하면

$${2k-1+2\leq 2^{k-1} + 2}$$

이후 ${2\leq 2^{k-1}}$ 어떠한 것도 ${k>3}$, 우리는

$${2k-1+2\leq 2^{k-1} + 2^{k-1} = 2\times 2^{k-1}=2^k}$$

즉,

$${2k + 1 \leq 2^{k}}$$

그것은 ${\mathbb{P}(k)!}$. 다시 말해,${\mathbb{P}(k-1)}$ 직접적으로 암시 ${\mathbb{P}(k)}$. 이후${k}$ 임의적이며 기본 사례를 보여주었습니다. ${n\geq 3}$. 불분명 한 부분이 있으면 알려 주시면 더 자세히 설명하겠습니다.