바닥 함수 경계
CMC에서 :
실수 제곱의 합은 얼마입니까? $x$ 어떤 $x^2 - 20\lfloor x\rfloor + 19 = 0$?
우리는 사용 $\lfloor x\rfloor\le x<\lfloor x\rfloor+1$ 그리고 결국 경계를 얻습니다. $1\le x\le19$ 과 $x\ge 18,x\le 2.$ 물론 가능합니다. $x$ 정수가 아니기 때문에 다른 해를 어떻게 찾을 수 있습니까? $19$ 과 $1$?
누군가이 솔루션을 작성했습니다.
$x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 19 = 0$ Cleary $x\geq \lfloor x \rfloor$ 모든 진짜 $x$. 그러므로,$$x^2-20x+19 \leq x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 19=0.$$ 어느 것이 $$1 \leq x \leq19.$$또한 $x^2=20\lfloor x\rfloor - 19$ 의미하는 $\lfloor x \rfloor=1,17,18,19$.
우리가 어떻게 얻는 지 잘 모르겠습니다 $\lfloor x\rfloor=17,18$ 이것으로부터.
답변
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{x^{2} - 20\left\lfloor\,{x}\,\right\rfloor + 19 = 0}\,,\quad x = {\Large ?}}$
분명하다 $\ds{\left\lfloor x\right\rfloor = {x^{2} + 19 \over 20} = m, \mbox{where}\ m \in \mathbb{N}_{\geq\ 1}\ \mbox{such that}\ x = \root{20m - 19}}$.
그때, \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{m = \left\lfloor\,{\root{20m - 19}}\,\right\rfloor} \implies m \leq \root{20m - 19} < m + 1 \\[5mm] & \implies m^{2} \leq 20m - 19 < m^{2} + 2m + 1 \implies \left\{\begin{array}{lcl} \ds{m^{2} - 20m + 19} & \ds{\leq} & \ds{0} \\ \ds{m^{2} - 18m + 20} & \ds{>} & \ds{0} \end{array}\right. \\[5mm] &\ \mbox{with solutions}\quad 1 \leq m <\ \underbrace{9 - \root{61}}_{\ds{\approx 1.1898}}\ \quad\mbox{or}\quad \underbrace{9 + \root{61}}_{\ds{\approx 16.8102}}\ < m \leq 19 \\[5mm] &\ \implies m \in \braces{1,17,18,19} \implies \bbx{x \in \braces{1,\root{321},\root{341},19}} \\ & \end{align} 와 $\ds{\root{321} \approx 17.9165}$ 과 $\ds{\root{341} \approx 18.4662}$. 확인하십시오$\ds{\color{red}{x < 0}}$.
$$x^2 - 20 \lfloor x \rfloor + 19 = 0$$
직관은 솔루션이 솔루션에서 너무 멀어지지 않는다는 것입니다. $x^2-20x+19=0$즉 $x=1, 19$. 그러니 그 직감을 표현하십시오! 나는 만지작 거리는 데 익숙하지 않다$x-1 < \lfloor x \rfloor \le x$. 이제 좀 더 세분화 된 방법을 살펴 보겠습니다.
허락하다 $n = \lfloor x \rfloor , u = x-n$. 그래서$0\le u < 1$. $$(n+u)^2 - 20n + 19=0.$$ 우리가 얻는 확장 $$u^2 + 2nu + (n^2-20n + 19)=0.$$ 우리는 알고 있습니다 $u \in [0,1)$. 그래서이 방정식은 그 구간에서 해를 가져야합니다. 두 개가 있습니까? 이것은이 두 해의 합이 0보다 크다는 것을 의미합니다. 그러나 Vieta의 정리에서는 불가능합니다. 따라서 구간에 정확히 1 개의 해가 있습니다.$[0,1)$. 해당 솔루션이 정확히 0이면$0^2 + 2n\cdot 0 + (n^2-20n+19)=0.$ 그래서 $n = 1,19$. 그렇지 않다면 함수가$f_n(u) = u^2 + 2nu + (n^2-20n + 19)$ 간격에서 정확히 한 번 부호를 변경해야합니다. $(0,1)$. 그래서$f(0)f(1) < 0.$ 그 의미는 $$(n^2-20n+19)(n^2-18n + 20)<0,$$ 고려할 수 있습니다. $$(n-19)(n-1)(n-1.1897..)(n-16.8102..) < 0.$$ (실제로는 그다지 정밀도가 필요하지 않으며 적분 부분 만 계산하면됩니다.) $n$ 정수이고, $n=17, 18.$ (이유를 알 수 있습니까? 요청시 자세히 설명하겠습니다.)
대체 $n=17$ 과 $n=18$, 우리는에 대한 방정식을 얻습니다. $u$각기. 그리고 이것은 정규 2 차 방정식이됩니다.
에서 $\lfloor x\rfloor=(x^2+19)/20\gt0$, 우리는 $x\gt0$, 그 후 $x=\sqrt{20\lfloor x\rfloor-19}$(즉, 음수가 아닌 양수 제곱근). 그것은 다음과 같습니다$x^2-20\lfloor x\rfloor+19=0$ (고유 한) 솔루션이 있습니다. $\lfloor x\rfloor=n\in\mathbb{Z}^+$ 경우에만 $n\le\sqrt{20n-19}\lt n+1$. 모든 것이 부정적이지 않은 상태에서
$$\begin{align} n\le\sqrt{20n-19}\lt n+1 &\iff n^2\le20n-19\lt n^2+2n+1\\ &\iff n^2-20n+19\le0\lt n^2-18n+20 \end{align}$$
마지막 줄의 첫 번째 2 차 부등식은 $1\le n\le19$; 두 번째는 우리에게$n\lt9-\sqrt{61}$ 또는 $n\gt9+\sqrt{61}$, 이후 $7\lt\sqrt{61}$, 다음 중 하나를 알려줍니다. $n\lt2$ 또는 $n\gt16$. 따라서 우리는$\lfloor x\rfloor=n$즉 $1$, $17$, $18$, 및 $19$,와 함께 $20n-19$ 해당 값에 대해 $x^2$. 이 제곱의 합은
$$(20\cdot1-19)+(20\cdot17-19)+(20\cdot18-19)+(20\cdot19-19)=20(1+54)-76=1024$$
(최종 답변이 $2$ 확실히 순수한 우연입니다.)