비 Hausdorff 원 포인트 압축
이것은 한 공간 압축에 관한 이 질문 에 대한 후속 조치 입니다.
먼저 몇 가지 정의를 기억하십시오. 삽입은 연속 단사 맵$c:X\to Y$ 동종 성을 제공하는 $X$이미지에. 소형화 의$X$ 임베딩 $X$ 조밀 한 공간의 조밀 한 부분 집합 $Y$. 식별함으로써$X$ 그 이미지와 함께 $Y$ 하나는 확장해야합니다 $X$ 더 큰 세트로 $Y$ 주고 $Y$ 하위 공간 토폴로지와 같은 콤팩트 토폴로지 $X$ 의 원래 토폴로지와 일치합니다. $X$.
허락하다 $(X,\tau)$비 압축 토폴로지 공간이어야합니다. 압축$X^*=X\cup\{\infty\}$ 단일 포인트를 추가하여 얻은 것을 1 포인트 압축 이라고합니다 . ( 위키 백과 는 해당 용어를$X$로컬 컴팩트 Hausdorff. 이 경우 고유 한 Hausdorff 원 포인트 압축이 있습니다.$X$. 하지만 편의상 더 일반적으로 사용합니다.)
가능한 모든 1 점 압축 범위를 찾는 데 관심이 있습니다. $X$. 따라서 컴팩트 토폴로지를 제공하는 모든 방법을 찾으십시오.$X^*$ 원래 토폴로지를 유도하는 $X$. 사실 그$X$ 밀도가 높다 $X^*$ 왜냐하면 $X$ 콤팩트하지 않기 때문에 콤팩트 한 공간에서 닫을 수 없습니다.
일반적인 사실 : 모든 열린 nbhd가 맨 위에있는 링크 된 질문에서$\infty$ 의 보완이어야합니다 $X^*$ 닫힌 콤팩트 서브 세트의 $X$.
다음과 같은 원 포인트 압축의 다른 경우를 생각할 수 있습니다.
알렉산드로 프 콤팩트 화 의$X$ 토폴로지 포함 $$\tau_1=\tau\cup\{(X\setminus C)\cup\{\infty\}:C\text{ is compact and closed in }X\}\;.$$ 토폴로지부터 시작 $X$, 우리는 많은 오픈 nbhd를 추가했습니다. $\infty$가능한 한. 포함지도$X$ 으로 $X^*$공개 임베딩입니다. 이것은 가장 큰 토폴로지입니다.$X^*$ 공개 임베딩으로.
개방형 확장 토폴로지 에 의해 제공 $$\tau_2=\tau\cup\{X^*\}\;.$$ 토폴로지부터 시작 $X$, 우리는 단일 nbhd를 추가했습니다. $\infty$, 즉 전체 공간. 포함 맵은 공개 임베딩입니다. 이것은 가장 작은 토폴로지입니다.$X^*$ 공개 임베딩으로.
중간 토폴로지 $\tau_1$ 과 $\tau_2$. $X$ 또한 열릴 것입니다 $X^*$ 토폴로지에는 $\tau$. nhbds의$\infty$ 모든 폐쇄 형 콤팩트 서브 세트의 보완 물 중 적합한 서브 패밀리를 선택해야합니다. $X$. 예를 들어, 모든 유한 폐쇄 형 콤팩트 서브 세트의 보완 물 또는 모든 셀 수있는 폐쇄 형 콤팩트 서브 세트의 보완 물입니다.
개방형 임베딩을 사용하는 모든 원 포인트 압축 사례를 다루어야합니다. ($X$ 열려있다 $X^*$ 토폴로지가 켜져있는 경우에만 $X^*$ 모두 포함 $\tau$.)
이제 모든 원 포인트 압축입니다. $X$항상 공개 임베딩? 예가 있습니까?$X$ 열려 있지 않다 $X^*$? 조건은 무엇입니까$X$ 위의 것들이 유일한 원 포인트 압축인지 확인하는 것입니까?
참고 : 하나는 일반적으로 공간의 1 점 압축에 관심이 없습니다. $X$그것은 이미 콤팩트합니다. 그러나 나는 여전히 주목할 가치가있는 다음 관찰을 발견한다. 만약$X$ 알렉산드로 프 확장 $X$ 압축되지 않을 것입니다. $\infty$ 그런 다음 고립 된 지점이므로 $X$ 조밀하지 않다 $X^*$. 그러나 개방형 확장 토폴로지는$X$ 더하기 1 점은 항상 1 점 압축입니다. $X$ 열다 $X^*$).
만약 $X$1 포인트 공간이며 정확히 2 개의 1 포인트 압축이 있습니다. 개방형 확장 토폴로지는 Sierpinski 공간 입니다. 다른 하나는 불연속 토폴로지가있는 2 점 공간으로,이 경우 임베딩이 열리지 않습니다.
답변
만약 $X$ 압축되지 않은 경우 모든 1 점 압축 $X$공개 임베딩입니다. 실제로$X$ 1 점 압축으로 열리지 않음 $X^*=X\cup\{\infty\}$. 이것은 일부가 있음을 의미합니다$x\in X$ 모든 열린 이웃 $x$ 에 $X^*$ 포함 $\infty$. 그러나 모든 열린 이웃$x$ 이웃을 포함 $\infty$, 따라서 그 보완은 $X$. 이후$X$ 에 내장 $X^*$, 이것은 모든 열린 이웃을 의미합니다. $x$ 에 $X$컴팩트 한 보완이 있습니다. 그러나 이것은$X$ 모든 열린 덮개 때문에 컴팩트합니다 $X$ 포함하는 세트를 포함합니다 $x$, 그런 다음 해당 세트의 보완 물은 표지의 다른 많은 세트로 제한됩니다.