보간 불평등 (Sobolev 임베딩)

Question

허락하다 $\Omega$ 될 $C^1$ 도메인, 모든 $\epsilon>0, 0<|\alpha|<k$, 존재 $C_\epsilon$ 그런 $$||D^\alpha u||_{L^p}\leq \epsilon||u||_{W^{k,p}}+C_\epsilon||u||_{L^p}$$ 모든 $u\in W^{k,p}$.

나는 그것을 모순으로 증명하려고했다.

$\forall n \in \mathbb{N}, \exists u_n \in W^{k,p}$ 그런 $||D^\alpha u_n||_{L^p}>\epsilon||u_n||_{W^{k,p}}+n||u_n||_{L^p}$.

누구든지 Sobolev 압축 임베딩 사용에 대한 힌트를 줄 수 있습니까?

나는 사용하려고 $W^{k,p}\subset \subset L^p$. 그러나 시퀀스가 ​​바인딩되어 있음을 표시하는 방법은 없습니다.$sup$.

정규화를 통해 $v_n=\frac{u_n}{||u_n||_{W^{k,p}}}$, 우리는해야 $$\frac{1}{||u_n||_{W^{k,p}}}||D^\alpha u_n||_{L^p}>\epsilon+\frac{n}{||u_n||_{W^{k,p}}}||u_n||_{L^p}$$

Answer 1

임베딩이 $W^{k,p} \subset \subset L^p$컴팩트 한 것만으로는 충분하지 않습니다. 약간 더 강한 것이 필요합니다.$0<|\alpha| < k$ 임베딩 $W^{k,p} \subset \subset W^{|\alpha|,p}$ 컴팩트합니다.

일단 (정규화에 따라) $\|u_n\|_{W^{k,p}} = 1$ 모든 $n$, 시퀀스 $u_n$ 묶여있다 $W^{k,p}$ (때문에 $\sup_n \|u_n\|_{W^{k,p}} =1$ 우리가 그들 각각을 정규화 했으므로), 따라서 압축 포함에 의해 수렴 하위 시퀀스가 ​​있습니다. $u_{n_j} \xrightarrow{W^{|\alpha|,p}} u$.

이제 모순되는 진술을 작성하십시오. $$ \|D^{\alpha} u_{n_j}\|_{L^p} > \epsilon\|u_{n_j}\|_{W^{k,p}} + n \|u_{n_j}\|_{L^p} = \epsilon + n \|u_{n_j}\|_{L^p} \tag{*} $$

이후 $1 = \|u_{n_j}\|_{W^{k,p}} \geq \|D^{\alpha}u_{n_j}\|_{L^p}$, LHS는 $1$. 여기에서 오른쪽은$1$. 그러나 그것이 일어나려면 우리는$\|u\|_{L^p} = 0$, 그렇지 않다면 RHS는 다음과 같이 보일 것입니다. $\epsilon + n \|u\|_{L^p}$ 큰 $n$, 제한되지 않는 경우 $\|u\|_{L^p} = 0$. 그 후$u=0$.

그러나 우리는 또한 $D^{\alpha} u_{n_j} \xrightarrow{L^p} D^{\alpha} u = 0$. 그러나 우리가 한계를 가지고 있다면$*$ 우리는 얻는다 $\|D^{\alpha}u\|_{L^p} > \epsilon$. 이것은 모순을 완성합니다.