복소수 도움

Question

다음과 같은 복소수가 주어지면 : $$ z=1+i\sqrt{3} \qquad w = 0.707 - 0.707i $$ 다음 표현식의 데카르트 형식을 찾으십시오. $$ z^2 \bar{w}\qquad\text{and}\qquad \frac{z^3}{w^9} $$

내가 찾은 첫 번째 답이 1.414-1.414i입니다. 맞습니까?

Answer 1

극지 형태를 알고 있다면 $z$ 과 $w$, 그러면 주석에서 언급했듯이 계산이 훨씬 쉬워집니다.

한다고 가정 $z=r_{1}e^{i\theta_{1}}$ 과 $w=r_{2}e^{i\theta_{2}}$, 다음

$z^{2}\bar{w}=(r_{1}e^{i\theta_{1}})^{2}(r_{2}e^{-i\theta_{2}})=r_{1}^{2}r_{2}e^{i(2\theta_{1}-\theta_{2})}$ 과 $\frac{z^{3}}{w^9}=\frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{9}}e^{3i(\theta_{1}-3\theta_{2})}.$

그런 다음 오일러의 공식을 사용할 수 있습니다 .$re^{i\theta}=r(\cos(\theta)+i\sin(\theta))$ 결과를 형식으로 표현하기 위해 $x+iy.$

이제부터 $r_{1}=|z|=2$ 과 $\theta_{1}=\arctan(\frac{\sqrt{3}}{1})=\frac{\pi}{3}$ 당신은 그것을 가지고 $z=2e^{i\frac{\pi}{3}}.$ 비슷하게 $w=r_{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$ 어디 $r_{2}=|w|=\sqrt{(0.707)^2+(0.707)^2}\space(\approx 0.9998489885978).$

Answer 2

힌트:

그것을 관찰하십시오 $\;0.707\cong\cfrac1{\sqrt2}\approx\cfrac{\sqrt2}2\;$ , 따라서

$$w\approx\frac{\sqrt2}2(1-i)$$

따라서 첫 번째는

$$z^2\overline w=(-2+2\sqrt3\,i)\frac1{\sqrt2}(1+i)=\sqrt2(-1+\sqrt3~i)(1+i)=\sqrt2(-1-\sqrt3-(1-\sqrt3)i)=$$

$$=-\sqrt2\left[(1+\sqrt3+(1-\sqrt3)~\right]$$

여기에서 계속 ...

언급했듯이 극지 형식이 훨씬 쉽습니다. [0,2 \ pi); $에서 표준 인수를 선택하면 다음을 얻습니다.

$$ \; z = 2e ^ {\ pi i / 4} \;, \; \; w = e ^ {3 \ pi i / 4} \ implies \ text {etc.} $$

등