보여줘 $e^{-|x|^\alpha}$ 이다 $\lambda^d$ 모두를 위해 통합 가능 $\alpha>0$

Question

운동은 기능이 $x\mapsto e^{-|x|^\alpha}$ ...에서 $\mathbb{R}^d$ ...에 $\mathbb{R}$ 이다 $\lambda^d$ 모두를 위해 통합 가능 $\alpha>0$, 어디 $\lambda^d$ Lebesgue 측정 값을 나타냅니다. $\mathbb{R}^d$. 힌트로서 우리는 동일한 기능이$\mathbb{R}$ 이다 $\lambda^1$ 통합 가능.

이 질문 은 극좌표를 사용하지만 제 책에서는 아직이 기술을 사용하지 않았습니다. 오히려 나는 우리가 Tonelli의 정리를 사용해야한다고 생각하지만 어떻게 각각의 통합 성을 보여줄 수 있습니까?$d$ 적분 이상 $\mathbb{R}$?

Answer 1

이것은 Fubini-Tonelli의 정리로 할 수 있습니다. 허락하다$f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ 기능이있다

$$0 \leq f(x_1, \ldots, x_d) \leq \prod_{i=1}^d g_i (x_i)$$

모든 $(x_i)_{1 \leq i \leq d}$ 및 일부 음수가 아닌 함수 $g_i$. 그런 다음 Fubini-Tonelli의 정리를 통해$f$:

$$0 \leq \int_{\mathbb{R}^d} f \ d \lambda^d \leq \prod_{i=1}^d \int_{\mathbb{R}} g_i \ d \lambda^1.$$

이제 적분 가능한 함수를 찾는 것으로 충분합니다. $g$ 그런 $e^{-|x|^\alpha} \leq \prod_{i=1}^d g(x_i)$ 어디에나.

시도하는 가장 간단한 것은 $g(x_i) = e^{-c |x_i|^\alpha}$ 일정한 $c > 0$ (에 따라 달라질 수 있습니다 $d$). 단조로 인해 불평등은 다음과 같은 경우에만 유지됩니다.

$$|x|^\alpha \geq c \sum_{i=1}^d |x_i|^\alpha$$

모든 $x \in \mathbb{R}^d$. 이 작업을 수행 할 수 있습니다 (예 :$c = 1/d$),하지만이 시점에서 시도해 보겠습니다.