부분 분수로 A와 B를 풀 때 같은 항의 계수를 동일시한다는 것은 무엇을 의미합니까?
저는 캠브리지의 10 학년 책에서 부분 분수를 풀려고 노력하고 있습니다. 이것은 스스로 도전하고 싶은 학생들을 위해 일찍 소개하는 개념이며 설명에 꽤 가볍습니다.
예 : 7 / (x + 2) (2x-3) = A / 2x-3 + B / x + 2. 7 = x (A + 2B) + 2A−3B에 도달 할 때까지이 작업을 수행하는 방법을 이해합니다. 거기에서 나는 "등등 계수. 같은 항에 가까운 계수가 같아야합니다. 그래서 다음 시스템이 얻어집니다 : A + 2B = 0 2A-3B = 7.
그러나 나는 방정식의 이러한 부분을 이러한 값으로 설정하는 것이 왜 또는 어떻게 유효한지 이해하지 못합니다. 예를 들어 A + 2B = 7 2A−3B = 0이 아닌 이유입니다. 유튜브를보고 친구들에게 물어 보려고했지만 머리가 잘 안 들려요.
나는 그것을 할 수 있고 나는이 방법을 사용하여 A와 B를 풀 수있다. 하지만 저는 그 과정의 그 시점에서 제가하고있는 일을 이해하기 위해 정말 고심하고 있습니다. 이것을 살펴보면 계속해서 떠오르는 문구는 "우리는 같은 용어의 계수를 동일시 할 수 있습니다"입니다. 예를 들어 Fraction Decomposition 의 위키피디아 페이지에서 "이 방정식의 양쪽에 x의 계수와 x에 대한 상수 계수를 동일시합니다."라고 말합니다. 두 번째 예 : 방정식 7 / (x + 2) (2x-3)을 입력하면 emathhelp 페이지 에서 "유사 항에 가까운 계수가 같아야하므로 다음 시스템이 얻어집니다."라고 표시 됩니다.
답변
이 문제의 단계에 대해 약간 혼란스러워하는 것 같습니다. 양변에 분모를 곱한 후 결과 방정식을 풀어야합니다.이 경우$$7 = x(A+2B) + 2A - 3B.$$ 같은 용어는 동일한 거듭 제곱의 계수입니다.$x$. 그것을 관찰하십시오$7 = 0x + 7$. 이제 유사성을 볼 수 있습니까? 했다$(A+2B)$하고 아무것도 하지만, $0$, 당신은 0이 아닌 $ax$위 방정식의 왼쪽에있는 항. 동일한 논리가 적용됩니다.$(2A-3B)$.
그래서 정말 당신은 $$A+2B = 0 \\ 2A - 3B = 7$$ 동시에 풀면 $A= 2$, $B = -1$.
당신이 함께 일하고 있다고 가정
$$ax+b=3x+2.$$
우리는 이것이 모든 $x$. 특히, 우리는
$$x=0\to b=2,\\x=1\to a+b=5,\\ x=-1\to -a+b=-1,\\ x=2\to 2a+b=8,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x=5000\to 5000a+b=1502,\\\cdots$$
이것은 두 개의 미지수와 무한히 많은 방정식으로 구성된 시스템입니다. 하지만 최소한의 방정식을 풀면 (처음 두 개로,$a=3, b=2$), 기호 표현식이 완전히 동일하기 때문에 해는 모든 방정식에 유효합니다.
유리수 또는 모든 종류의 식별도 마찬가지입니다.