불확정 형식의 기본 예 $1^\infty$
저는 아직 수업 시간에 대수도 보지 못한 영리한 중학생과 수학을 이야기하고 있습니다. (우리는 지수의 역으로 로그를 성공적으로 도입했습니다.) 그녀는 이 비디오 와 불확실한 형태에 흥미를 느낍니다 . 우리는 "$1^\infty$"는"와 정말 동일합니다.$0/0$".
이제 "$1^\infty$". 불행히도 제가 생각 해낼 수있는 모든 예와 인터넷에서 찾은 모든 것은$\frac{\ln(1+t)}{t}\to 1$ 같이 $t\to 0$, 이것은 " 잘 알려진 사실 "이거나 L' Hospital의 규칙의 적용입니다. 둘 다 만족스럽지 않습니다.
"에 대한 사소한 예가 있습니까?$1^\infty$"불확정 한 형태 (따라서 $1^t$ ...에 대한 $t\to\infty$) 그것은 내가 모자에서 꺼내야 할 미적분이나 사실없이 지수에 대한 역함수로서 로그의 정의만을 사용하여 분석 할 수 있습니까?
답변
고전적인 예를 잊을 수있는 사람 :
$\underset{n\to\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$?
확장하면 $(1+\dfrac{1}{n})^{n}$ 이항 정리로 항을 비교하고 $1/n$ 다른 값에 대해 $n$, 우리는이 함수가 $n$ 제한없이 증가하지만 함수는 수렴 시리즈에 의해 제한됩니다.
$1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...$
따라서 한계는 exis로 보장되므로 다음과 같이 정의 할 수 있습니다. $e$, 규칙이 $[\ln(1+x)]/x\to1$ 같이 $x\to 0$ 다음과 같습니다.
그냥 고치지 않는 이유 $k>0$ (예 : $k=2$) 그리고 봐 $(k^{1/n})^n$?
직관적으로 $k^{1/n}=\sqrt[n]{k}\to 1$ 같이 $n\to\infty$; 반면에 명확하게$n\to\infty$ 언제 $n\to\infty$. 따라서, 당신은 사건이 있습니다$1^\infty$ 실제로 수렴되는 $k$ (뿐만 아니라 $k$하지만 상수 )로 시작하기 위해 임의로 선택했습니다.
이제 이것은 확장하기 쉽습니다. $(k^{1/n})^{n^2}=k^n$ 또는 $(k^{1/{n^2}})^n=k^{1/n}$, 수렴 $0$ 과 $\infty$ (일부 순서로 $k\ne 1$).
우리는 찾는다 $f,\,g$ 와 $f\to1,\,g\to\infty$, 다음과 같이 말하십시오. $x\to0$, 그래서 $f^g$ 어떤 제한도 가질 수 있습니다 $L\in[0,\,\infty]$또는 없음. 예 :
- $f=e^{x^2},\,g=x^{-2}\ln L$ ...에 대한 $L>1$
- $f=e^{-x^2},\,g=-x^{-2}\ln L$ ...에 대한 $L\in(0,\,1)$
- $f=e^{x^4},\,g=x^{-2}$ ...에 대한 $L=1$
- $f=e^{-x^2},\,g=x^{-4}$ ...에 대한 $L=0$
- $f=e^{-x^4},\,g=x^{-2}$ ...에 대한 $L=\infty$
- $f=e^{x^2\sin(1/x)},\,g=x^{-2}$ ...에 대한 $\lim_{x\to0}f^g$ 정의되지 않습니다.
대체품 $(f,\,g)\mapsto(1/f,\,-g)$ 쇼 $1^{-\infty}$ 동일한 방식으로 작동하지만 모든 목록을 별도로 나열하는 사람은 없습니다.