Cantor 세트의 비정상적인 정의

Question

캔터 세트에 대한 여러 정의를 보았지만 모두 내 것과 다르게 보입니다. 내 책은 칸터 세트를 다음과 같이 정의합니다.

형식의 모든 실수 집합 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}3^{-n}$ 어디 $a_{n}$ 하나 또는 다른 값을 취합니다. $0$ 또는 $2$.

세트는 어때? "어디서$a_{n}$ 하나 또는 다른 값을 취합니다. $0$ 또는 $2$"그것은 의미합니까 $a_{n}$ 대체 같은 $0$, $2$, $0$, $2$? 이 세트의 값을 좀 알려주 시겠어요? 그리고 내가 어디서나 볼 수있는이 이미지와 무슨 관련이 있습니까?

Answer 1

당신의 책은 캔터 세트가 숫자 세트임을 의미합니다. $x$ 양식으로 쓸 수있는 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n3^{-n}$ 일부 시퀀스 $a_n$ 어디 각각 $a_n$ 다음 중 하나입니다 $0$ 또는 $2$. 조금 덜 조밀하게 다음 중 하나를 말할 수 있습니다.

• 숫자 $[0,1]$ 다른 힘의 합의 두 배로 쓸 수 있다면 Cantor 세트에 있습니다. $3$.

• 숫자 $x$ 에 $[0,1]$ 사용하지 않는 삼항 확장이있는 경우 Cantor 세트에 있습니다. $1$. (이것은 위와 동일합니다. 삼항 확장은 단지 "소수점을 쓰고 숫자를 씁니다."$\{0,1,2\}$ 그리고 $n^{th}$ 학기 $3^{-n}$ 전반적으로 $n$")

특정 $x$ 어디 $a_n$ 번갈아 가며 $0$ 과 $2$ 따라서 Cantor 세트 (이 $x$ 같음 $1/4$),하지만 셀 수없이 많은 다른 시퀀스가 ​​있습니다. $a_n$ 유일한 값은 $0$ 과 $2$, 모두 Cantor 세트의 고유 한 요소를 생성합니다.

표시된 이미지는 간격을두고 각 간격의 중간 1/3을 반복적으로 제거하여 동일한 세트를 구성하는 것을 보여줍니다. 이렇게하면 점점 더 작아지는 일련의 세트가 생성됩니다. 이러한 모든 세트의 교차점은 캔터 세트이며 책에서 정의한 것과 정확히 일치합니다. 동등성은 삼항 확장에서 가장 분명합니다.

처음에는 간격이 있습니다. $[0,1]$. 그런 다음 간격을 제거합니다.$(1/3,2/3)$ 삼항 확장의 첫 번째 항은 $.1\ldots_3$, 원하는 형식으로 쓸 수 없음을 의미합니다. 그런 다음$(1/9,2/9)$ 과 $(7/9,8/9)$ 삼항 확장이 시작되는 $.01\ldots_3$ 과 $.21\ldots_3$ 첫 번째 숫자는 괜찮지 만 $0$ 또는 $2$), 두 번째 숫자는 그렇지 않습니다. 그런 다음 삼항 확장이 시작되는 숫자를 제거합니다.$.001\ldots_3$ 또는 $.021\ldots_3$ 또는 $.201\ldots_3$ 또는 $.221\ldots_3$ 등등-그리고 끝에 남는 유일한 숫자는 오직 포함하는 삼항 확장으로 쓸 수있는 숫자 일 것입니다. $0$'모래 $2$'s-책이 제시하는 형식으로 쓸 수있는 숫자의 집합입니다.