$\cap_{n=1}^{\infty}A_n$ 그리고 무한
하나의 질문:
- 정의가 $\cap_{n=1}^{\infty}A_n=\{x\in A_i\forall n\in N\}$ 비어 있지 않다면 그 요소가 무한 교차점에 속함을 의미합니까? $A_n$ 또는 유한 교차 $A_n$ 모든 자연수에 대해?
좀 더 자세히 설명하기 위해이 혼란스러운 표기법에 대해 어떻게 느끼는지 보여 드리고 싶습니다 $\cap_{n=1}^{\infty}A_n$.
분석 이해 Steven Abbott
정의하는 예제 1.2.2 $A_i = \{x\in N: x\geq i\}$. 귀납법에 의해 각 유한 교차점에 대해 비어 있지 않습니다. 그러나 모순에 의한 증명 은 표기법을 사용하는 무한한 경우에 도달 할 때$\cap_{n=1}^{\infty}A_i$, 그것은 널 세트입니다. 즉,이 예에서이 표기법은 무한 교차에 사용됩니다.
중첩 간격 속성을 증명하는 정리 1.4.1. $I_n = \{x\in R: a_n\leq x\leq b_n\}$. 여기에서는 이것이 무한 교차인지 아닌지를 지정하지 않습니다. 대신에,$\exists x\forall n\in N x\in I_n$. 따라서$x\in\cap_{n=1}^{\infty}A_n$. 즉,이 예에서이 표기법은 모든 유한 자연수에 사용됩니다.
정리 1.5.8에서는 If$A_n$ 각각에 대해 셀 수있는 세트입니다 $n\in N$, 다음 $\cup_{n=1}^{\infty}A_n$셀 수 있습니다. 즉,이 예에서이 표기법은 무한 교차에 사용됩니다.
표기법에 무한대 기호가 포함되어 있지만 그 정의는 모든 자연수를 의미한다는 점에서이 표기법에 혼란 스럽습니다. 따라서 나는 그것을 볼 때마다 어느 것을 신청 해야할지 모르겠습니다.
적용 가능한 방향으로 가면 말하십시오. $\forall n\in N$, 그러면 귀납이 똑같은 일을하기 때문에 귀납이 작동해야합니다! 그러나이 게시물은 표기법이 무한대에 관한 것이라고 말함으로써 달리 제안합니다 .
좋아, 나는 그것이 무한 교차에 관한 방향을 바꾼다. 그러나 어떤 경우에는, 예를 들어 위에 나열된 것과 같은 어떤 것이 모든 자연수에 적용 가능하다면이 표기법의 일부가되는 것이 좋습니다.
간단히 말해서이 표기법에는 두 가지 상반되는 의미가 있다고 생각합니다.
- $\forall n\in N$
- 무한대
이전에 조사하고 질문 한 적이 있지만 여전히 이해가되지 않습니다. 그래서 나는 모든 잘못을 알고 일부 정의에서 혼란스러워합니다.
답변
$\bigcap_{n=1}^\infty A_n$세트입니다. 무슨 세트? 모든 세트에 속하는 모든 것의 세트$A_n$ ...에 대한 $n\in\Bbb Z^+$. 허락하다$\mathscr{A}=\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$; 그때$\bigcap\mathscr{A}$ 정확히 같은 것을 의미합니다. $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ 단순히 더 많거나 적지 않음을 의미하는 관습적인 표기법입니다. $\bigcap_{n\ge 1}A_n$, $\bigcap\mathscr{A}$, 및 $\bigcap\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$. 없다$A_\infty$: $\infty$ 인덱스가 $n$ 모든 양의 정수 값을 가정하는 것입니다.
각 양의 실수에 대해 $x$ 내가 보자 $I_x$ 개방 간격 $(-x,x)$. 그때$\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x$이 열린 간격 각각에 속하는 모든 실수의 집합입니다. 만약$\mathscr{I}=\{I_x:x\in\Bbb R^+\}$, 다음
$$\bigcap\mathscr{I}=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}(-x,x)=\{0\}\,.$$
내가 어떻게 알아? 만약$y\in\Bbb R\setminus\{0\}$, 다음 $y\notin(-|y|,|y|)=I_{|y|}$, 따라서 구성원이 하나 이상 있습니다. $\mathscr{I}$ 포함하지 않는 $y$, 따라서 정의에 따라 $y$ 가족 세트의 교차점에 있지 않습니다. $\mathscr{I}$. 반면에$0\in(-x,x)=I_x$ 모든 $x\in\Bbb R^+$, 그래서 $0$ 이다 교차로에서$\bigcap\mathscr{I}$.
어느 경우에도 우리는 어디에서나 귀납법을 사용하지 않았습니다. 세트의 경우$A_n$ 우리는 유도를 사용할 수 있습니다 $n$ 각 세트가 $A_n$ 재산이있다 $P$,하지만 우리는 $\bigcap\mathscr{A}$ 있다 $P$. 우리는 어떻게 든 할 수있을 사용하는 각 사실을$A_n$ 재산이있다 $P$ 그것을 보여주기 위해 $\bigcap\mathscr{A}$ 또한 $P$,하지만 별도의 인수가 필요합니다. 그것은 귀납의 일부가 아닐 것입니다. 이 경우의 귀납 주장은
$$\forall n\in\Bbb Z^+(A_n\text{ has property }P)\,;$$
별도의 인수는 해당 결과 및 기타 사실을 사용하여 단일 집합이 $\bigcap\mathscr{A}$ 재산이있다 $P$. 이 세트라고 부를 수 있습니다.$A_\infty$당신이 그렇게하기를 원한다면 그것은 단지 레이블 일뿐입니다. 똑같이 잘 부를 수 있습니다.$A$, 또는 $X$, 또는 $A_{-1}$, 비록 당신이 그 마지막 레이블을 사용하고 싶어하는 이유를 상상할 수 없습니다.
세트의 경우 $I_x$ 귀납법을 사용하여 각각의 $I_x$ 일부 속성이 있습니다.이 세트는 다음과 같이 나열 될 수 없습니다. $I_1,I_2,I_3$, 그 이유는 셀 수없이 많기 때문입니다. 우리는 여전히 세트에 대해 증명할 수 있습니다.$\bigcap\mathscr{I}$그러나. 그리고 우리는 편리한 레이블을 줄 수 있습니다.$\bigcap\mathscr{I}$유익하지만 약간 불편할 수도 있습니다. 더 편리한 레이블을 지정하도록 선택할 수 있습니다.$I$.
의 경우 $\mathscr{A}$ 기호를 사용하는 관습적인 표기법이 있습니다. $\infty$,하지만 이는 단순히 세트가 $A_n$정수로 색인화됩니다. 우리는 예제에서 정확히 똑같은 일을하고 있습니다.$\mathscr{I}$, 그러나이 경우 제한을 사용할 가능성이 없습니다. $\infty$ 무수히 많은 세트를 인덱싱 할 방법이 없기 때문에 교차로에서 $I_x$ 정수로.