차이점 $\forall n\in\mathbb N$ 과 $\bigcap_{i = 1}^{\infty}$
차이점에 대해 정말 혼란 스럽습니다. $\forall n\in\mathbb N$ 과 $\bigcap_{i=1}^\infty$.
분석 이해에서 나는 연습 1.2.13에서 인용합니다. 그
결론을 내리기 위해 귀납법에 호소하는 것은 유혹적입니다. $(\bigcup_{i = 1}^\infty A_i)^c = \bigcap_{i=1}^\infty A_i^c$.
그러나 여기에서는 귀납법이 적용되지 않습니다. 귀납법은 특정 진술이 모든 가치에 적용된다는 것을 증명하는 데 사용됩니다.$n\in\mathbb N$그러나 이것은 무한한 경우의 타당성을 의미하지 않습니다.
한동안 그것에 대해 조사를했고 결국 제가 지적 할 수 있다는 사실을 이해했습니다. $n\in\mathbb N$ 의미 $n$유한합니다. 따라서 무한한 경우에는 적용 할 수 없습니다.
네, 그 이유를 이해합니다. 그러나 만약$\forall n \in\mathbb N$ 작동하지 않는 경우 무한 사례를 증명하는 데 무엇이 작동합니까?
그 차이에 대해 편하게 느끼는 것처럼. 이 책은 혼란을 다시 불러 일으켰고 가능한 한 짧게 만들기 위해 다음과 같이 인용합니다.
중첩 된 간격 속성은 $I_n$ 포함 $I_{n+1}$. 이들은 이와 같이 정의 된 닫힌 간격의 중첩 시퀀스입니다.$I_n = [a_n, b_n] = \{x\in\mathbb R : a_n\leq x \leq b_n\}$.
증명은 모두에 속하는 단일 실수 x를 찾는 데 중점을 둡니다. $I_n$ 그리고 그것은 supA라고 주장합니다.
증거에서 그것은 말했다 $x\in I_n$, 모든 선택에 대해 $n\in\mathbb N$. 그 후,$x\in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ 교차로가 비어 있지 않습니다.
누락 된 세부 정보가 필요한 경우 알려주십시오. 그러나 내 요점은 다음과 같습니다.
- 무한 드 모건의 규칙에있는 이유 $\forall n\in\mathbb N$ 적용되지 않습니다 $\infty$
- 중첩 된 간격 속성에있는 이유 $\forall n\in\mathbb N$ 적용 $\infty$
답변
$\forall n\in\Bbb N$ 적용 되지 않는다$\infty$, 때문에 $\infty$ 의 요소가 아닙니다 $\Bbb N$. 중첩 된 구간 정리 에는 $I_\infty$. 우리가 아는 것은$x\in I_n$ 각각 $n\in\Bbb N$, 따라서 정의에 따라 $n$ 세트의 교차점에 있습니다. $I_n$. 이 교차로라고 부를 수 있습니다.$I_\infty$ 만약 당신이 그렇게하고 싶다면, 그것은 집합을 포함하는 유도 논쟁과는 완전히 독립적 인 임의의 선택이 될 것입니다. $I_n$; 조지라고 부를 수 있습니다. (수년 전에 제 친구가 실제로 George라고 명명 한 수학적 대상에 대한 논문을 발표했습니다.)
De Morgan의 법칙은 제안 된 정체성의 각면이 다른면의 부분 집합임을 보여줌으로써 임의의 집합 가족에 대해 증명합니다. 이는 집합의 임의의 인덱스 가족을 위해 수행 여기 와에서 이 응답 (MSE에서 아마 다른 장소뿐만 아니라). 증명은 유한 집합 집합에 대한 정리에 의존하지 않으며 어떤 종류의 귀납도 포함하지 않습니다.
De Morgan 's Rule은 무한 세트에서 작동합니다. 그러나 이것은 De Morgan 's Rule의 유한 한 버전을 귀납함으로써 증명 될 수 없습니다. 귀납은 임의의 큰 가치에 대해 진술이 사실임을 증명하는 도구이기 때문입니다.$n$ (그러나 $n$ 여전히 유한합니다).
셀 수없이 무한한 수의 세트의 교차점에 대해서는 정의에서 따릅니다. 우리는 말한다$x \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ iff $x \in I_n$ 모든 $n \in \mathbb N$.