찾기 $\sup _\limits{Q \in M_{4\times 2} (\mathbb{R}), Q^{T} Q=I_{2}} \operatorname{tr}\left(Q^{T} A Q\right)$ [복제]

Question

허락하다 $$ A:=\left[\begin{array}{llll} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \end{array}\right] $$ 찾기 $\sup _\limits{Q \in M_{4\times 2} (\mathbb{R}), Q^{T} Q=I_{2}} \operatorname{tr}\left(Q^{T} A Q\right)$, 어디 $M_{4 \times 2}(\mathbb{R})$ 크기의 모든 행렬 집합을 나타냅니다. $4\times 2$.

알아 $\mathrm{tr}A=\sum _i A_{ii}$하지만이 상한선을 어떻게 다룰 수 있습니까? 분명히$Q^T AQ$ 이다 $2\times 2$ 매트릭스,하지만 어떻게 조건이 $Q^TQ=I_2$도움. 또한이 문제에 대한 배경이 있습니까? 나는 (선형 대수학) 문제가 추적을 위해 uppper 경계를 요구하는 것을 거의 보지 못하며 이러한 종류의 문제에 대한 추가 정보를 얻을 수 있기를 바랍니다.

Answer 1

$A$ 양의 정부 호이고 4 개의 고유 값은 다음과 같습니다. $2,4,4,8$. 폰 노이만의 미량 불평등 은$$ \operatorname{tr}(Q^TAQ)\le\sum_{i=1}^2\sigma_i(Q^T)\sigma_i(AQ)=\sum_{i=1}^2\sigma_i(A)=\sum_{i=1}^2\lambda_i^\downarrow(A)=8+4=12. $$ 또는 $Q^TAQ$ 의 주 부분 행렬입니다. $U^TAU$ 일부 직교 행렬의 경우 $U$. 에르 미트 행렬의 경계가있는 부분 행렬에 대한 코시의 인터레이스 부등식 또는 Courant-Fischer 최소 최대 부등식에 의해$\lambda_i^\downarrow(Q^TAQ)\le\lambda_i^\downarrow(U^TAU)=\lambda_i^\downarrow(A)$. 따라서$\operatorname{tr}(Q^TAQ)=\sum_{i=1}^2\lambda_i^\downarrow(Q^TAQ)\le\sum_{i=1}^2\lambda_i^\downarrow(A)=12$.

분명히 위의 두 열이 $Q$ 고유 값에 해당하는 두 개의 단위 고유 벡터입니다. $8$ 과 $4$ 각기.

Answer 2

여기에 더 기본적인 해결책이 있습니다.
허락하다$Q=\begin{bmatrix}Q_1\\Q_2\end{bmatrix}$. 그때$$I_{2\times2}=Q^TQ=\begin{bmatrix}Q_1^T Q_2^T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Q_1\\Q_2\end{bmatrix}=Q_1^TQ_1+Q_2^TQ_2$$ $$Q^TAQ=\begin{bmatrix}Q_1^T Q_2^T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B&0\\0&2B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Q_1\\Q_2\end{bmatrix}=Q_1^TBQ_1+2Q_2^TBQ_2$$ 참고 $Q_1^TQ_1$ 과 $Q_2^TQ_2$ 1에 더해지는 음이 아닌 고유 값을 사용하여 동시에 대각화할 수 있습니다. $Q_1^TQ_1=PD_1P^T$, $Q_2^TQ_2=P(I-D_1)P^T$ 와 $P$직교.
문제는 두 항이 서로 유사한 합계의 추적을 최대화하는 것이므로 선택하는 것이 가장 좋습니다.$Q_1=0$. 그때$Q_2$ 직교하고 최대 추적은 $2\mathrm{tr}B=2\times6=12$.