치수 및 파열
사 영적 다양성 고려 $X$, 그리고 $Y$닫힌 부분 변형이어야합니다. 폭발을 고려하십시오$X$ Y 따라 : 우리는 새로운 다양성을 얻습니다 $\tilde{X}\subset X\times \mathbb{P}^{\dim Y}$, 쌍 합리적지도와 함께 $$b:\tilde{X}\to X$$ 이것은 예외적 인 궤적 밖의 동형입니다. $\tilde{Y}= b^{-1}(Y) \simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X})$.
질문 : 사실입니까? $\dim\tilde{X}=\dim X$?
내 생각 : 블로우 업은 이중 합리적 맵이므로 개방 된 (밀집된) 하위 집합에 대한 동형이 있습니다. 다양성의 차원은 오픈 세트에서 동일한 기능 필드의 trascendence 정도로 정의되므로 결론을 내릴 수 있습니다.
내 생각이 맞습니까? 나는 이것을 요구하고있다. 나는 이것이 점을 날려 버리는 경우에 대해 확신하지만, 부분 변형의 일반적인 경우에 대해서는 확실하지 않다. 직관적으로 그것은 나에게 상당히 큰 공간 (엄격하지는 않지만이 주제를 공부하기 시작했습니다).
답변
명심해야 할 몇 가지 사항이 있습니다. 하나는 당신이 폭발 건설을 원한다고 생각합니다.$X \times \mathbb P^{\operatorname{codim} Y}$; 적어도 이것은 때 작동합니다$Y$ 완전한 교차로입니다.
일반적으로 말했듯이 예외적 인 궤적은 일반 번들의 투영으로 발생합니다. $\mathcal N_{Y|X}$. 세트$\dim X = n$ 과 $\dim Y = m$. 일반 번들의 순위는 항상$Y\subset X$, 그 후 $\mathbb P(\mathcal N_{Y|X})$ 상대적인 차원이 있음 $n - m - 1$ (이것이 섬유의 치수임을 의미합니다. $ \mathbb P(\mathcal N_{Y|X}) \to Y$, 투영 번들의 구조 맵). 이제 여기에$Y$, 우리는 프로젝 티브 번들의 차원을 다양하게 얻습니다. $(n-m-1) + m = n-1$, 동일 차원이 있음을 보여줍니다. $1$ 에 $X$. 이러한 이유로 폭발의 예외적 궤적을 일반적으로 예외적 제수 라고합니다 .