최소 Stinespring 표현의 분해

Question

이 질문은 Paulsen의 저서 "완전한 경계지도 및 연산자 대수"(P115 연습 8.2)의 연습에서 비롯되었습니다.

허락하다 $A$ 단위가있는 C *-대수, $H$ 힐베르트 공간이되어 $\Phi: M_2(A)\rightarrow B(H\oplus H)$완전히 긍정적 인지도 여야합니다. 그런 다음 최소한의 Stinespring 표현이 있습니다.$(\pi_1, V, K_1)$ ...에 대한 $\Phi$. 힐베르트 공간 증명$K_1$ 분해 될 수있다 $K_1=K\oplus K$ *-동형이 $\pi_1:M_2(A)\rightarrow B(K\oplus K)$ 형태가있다 $$\pi_1\left[\left[ \begin{array}{ccc} a & b \\ c & d\\ \end{array}\right]\right]=\left[ \begin{array}{ccc} \pi(a) & \pi(b) \\ \pi(c) & \pi(d)\\ \end{array}\right],$$ 어디 $\pi: A\rightarrow B(K)$ 단일 *-동형입니다.

내 시도 :이 연습에서는 힐베르트 공간을 구성하는 방법을 모릅니다. $K$ 그런 $K_1=K\oplus K$. Stinespring 표현이 최소이기 때문에 (예 :$\overline{\pi_1(M_2(A))V(H\oplus H)}=K_1$), 나는 추측한다 $K=\overline{\pi_1(M_2(A))V(H\oplus{0})}\cong \overline{\pi_1(M_2(A))V(0\oplus H)}$. 그러나 그것이 사실인지 확실하지 않습니다.

Answer 1

당신의 접근 방식은 좋은 생각처럼 선험적으로 들리지만 당신이 통제 할 수 없기 때문에 효과가 없습니다. $V$.

대신, 당신은 $\pi_1(A)$최소 조건에 의해 퇴화되지 않습니다. 이것은$\pi_1(1)=1$(사소한 커널이있는 투영이기 때문에). 이제$$ K=\pi(a)=\pi_1\left(\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\right)\,K_1. $$ 그때 $$ K_1=K\oplus\pi_1\left(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\right)K\simeq K\oplus K.$$

밝히다

$$\pi(a)=\pi_1\left(\begin{bmatrix}a&0\\0&0\end{bmatrix}\right).$$ 그런 다음 쓰기 $U=\pi_1\left(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\right)$, \begin{align} \pi_1\left(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\right) &=\pi(a)\pi(E_{11})+\pi(b)\pi(E_{12})+\pi(E_{21})\pi(c)+\pi(E_{21})\pi(d)\pi(E_{12})\\[0.3cm] &=\pi(a)+\pi(b)U+U\pi(c)+U\pi(d)U\\[0.3cm] &\simeq\begin{bmatrix}\pi(a)&\pi(b)\\\pi(c)&\pi(d)\end{bmatrix} \end{align}