colimit 개체 간 매핑
허락하다 $\lbrace A_i \rbrace_{i\in I}$ 과 $\lbrace B_j \rbrace_{j\in J}$ 한 카테고리에 두 개의 다이어그램이있다 $\mathcal{C}$. 허락하다$A=\text{colim}_{i\in I} A_i$ 과 $B= \text{colim}_{j\in J} B_j$. 두 개의지도가 주어짐$f,g: A\rightarrow B$, coequaliser가 $C$ 존재, 할 수 있습니다 $C$ 객체로 구성된 다이어그램의 공동 한계로 표시 $A_i$ 과 $B_j$?
답변
유혹적이지만 잘못된 추측입니다! 모두 보자$A_i$ 과 $B_i$ 의 사본이다 $\mathbb{Z}$ 카테고리에서 $\text{Ab}$아벨 그룹의 두 colimits 모두가 부산물이되도록합니다. 그런 다음 모든 아벨 그룹은 그러한 부산물 사이의지도 쌍의 공동 등화기로 발생하지만 (이는 정확히 모든 아벨 그룹이 프레젠테이션을 가지고 있음을 나타냄) 모든 아벨 그룹이 복사본의 공동 한계로 발생하는 것은 아닙니다.$\mathbb{Z}$. 얼마 전에 MathOverflow 에서 정확히이 질문을 했고 매우 유익한 부정적인 답변을 받았습니다.
표기법을 변경하겠습니다. 허락하다$X : \mathcal{I} \to \mathcal{C}$ 과 $Y : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ 펑터가 되십시오. $\mathcal{D}$ 의 전체 하위 범주 $\mathcal{C}$ 의 이미지에 걸쳐 $X : \mathcal{I} \to \mathcal{C}$ 과 $Y : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$, 그리고 $\bar{X} = \varinjlim_\mathcal{I} h_X$ 과 $\bar{Y} = \varinjlim_\mathcal{J} h_Y$ 에 $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, 우리가 정의하는 곳 $h_T (S) = \mathcal{C} (S, T)$. 그때,$$\textstyle [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}](\bar{X}, \bar{Y}) \cong \varprojlim_\mathcal{I} \varinjlim_\mathcal{J} \mathcal{C}(X, Y)$$ 그래서 형태론 $f : \bar{X} \to \bar{Y}$ 형태의 패밀리로 분해 될 수 있습니다. $X (i) \to Y (j_i)$ 색인화 $i \in \operatorname{ob} \mathcal{I}$, 모듈로 특정 등가 관계. 반면에$X$ 과 $Y$ 공동 제한이있다 $\mathcal{C}$, 기껏해야 우리는 $$\textstyle \mathcal{C} \left( \varinjlim_\mathcal{I} X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right) \cong \varprojlim_\mathcal{I} \mathcal{C} \left( X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right)$$ 표준 비교 맵이 있지만 $$\textstyle \varprojlim_\mathcal{I} \varinjlim_\mathcal{J} \mathcal{C}(X, Y) \to \varprojlim_\mathcal{I} \mathcal{C} \left( X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right)$$ 그것은 일반적으로 bijection이 아닙니다.
If – 이것이 큰 if – 병렬 쌍$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ 에 $\mathcal{C}$ 이 비교 맵을 통해 관심이있는 항목을 해제 할 수 있습니다. 그러면 해당 coequaliser는 다음으로 구성된 다이어그램의 colimit입니다. $X$ 과 $Y$.
사실,하자 $f_0, f_1 : \bar{X} \to \bar{Y}$ 형태가있다 $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. 그러면 우리는 그들의 coequaliser를 형성 할 수 있습니다.$\bar{Z}$ 에 $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. 표준 다이어그램이 있습니다.$R : \textbf{El} (\bar{Z}) \to \mathcal{D}$ 누구의 공동 제한 $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ 이다 $\bar{Z}$. 분명히,$\textbf{El} (\bar{Z})$ 다음 카테고리입니다.
- 의 개체 $\textbf{El} (\bar{Z})$ 쌍이다 $(D, z)$ 어디 $D$ 의 개체입니다 $\mathcal{D}$ 과 $z$ 의 요소입니다 $\bar{Z} (C)$.
- 형태 $(D, z) \to (D', z')$ 에 $\mathcal{K}$ 형태는 $g : D \to D'$ 에 $\mathcal{D}$ 그런 $z' \cdot g = z$.
- 작곡은 $\mathcal{D}$.
명백한 투영이 있습니다 $R : \textbf{El} (\bar{Z}) \to \mathcal{D}$ 확인하는 것은 간단합니다. $\bar{Z} \cong \varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} h_R$. 나는 주장한다 :$\varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} R$ 는 $\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ 에 $\mathcal{C}$, 강한 의미에서 $\varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} R$ 에 존재 $\mathcal{C}$ coequaliser가 존재하는 경우에만 $\mathcal{C}$ 동형입니다.
허락하다 $\bar{\mathcal{D}}$ 의 전체 하위 범주 $\mathcal{C}$ 개체에 스팬 $C$ 에 $\mathcal{C}$ 모든 개체에 대해 $T$ 에 $\mathcal{C}$, 표준지도 (Yoneda 임베딩의 제한에 의해 유도 됨) $$\mathcal{C} (C, T) \to [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] (h_C, h_T)$$그것은 bijection입니다. 일반적인 Yoneda 기본형은 우리에게 말합니다.$\mathcal{D} \subseteq \bar{\mathcal{D}}$, 그러나 모든 다이어그램의 경우 $Z : \mathcal{K} \to \bar{\mathcal{D}}$, $$\textstyle \varprojlim_\mathcal{K} \mathcal{C} \left( Z, T \right) \cong \varprojlim_\mathcal{K} [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \left( h_Z, h_T \right) \cong [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \left( \varinjlim_\mathcal{K} h_Z, h_T \right)$$ 자연스럽게 $T$, 그래서 만약 $\varinjlim_\mathcal{K} Z$ 에 존재 $\mathcal{C}$ 그런 다음 그것은 또한 $\bar{\mathcal{D}}$ – 간단히 말해서 $\bar{\mathcal{D}}$ 존재하는 colimits 아래에 닫힙니다 $\mathcal{C}$. 특히,$\varinjlim_\mathcal{I} X$ 과 $\varinjlim_\mathcal{J} Y$ 에있다 $\bar{\mathcal{D}}$, 병렬 쌍이 $\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ 에 $\mathcal{C}$ coequaliser가있는 coequaliser가있는 것보다 $\bar{\mathcal{D}}$. 본질적으로 정의$\bar{\mathcal{D}}$반복 된 공동 제한에 대해 증명할 수있는 모든 것을 보장합니다 .$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ 또한 사실입니다 $\mathcal{C}$, 관련된 모든 colimits가 실현 될 수있는 한 $\bar{\mathcal{D}}$. 따라서, 만약 병렬 쌍$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ 에 $\mathcal{C}$ 병렬 쌍으로 들어 올릴 수 있습니다. $\bar{X} \rightrightarrows \bar{Y}$ 에 $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, 다음의 coequaliser $\mathcal{C}$ colimit로 식별 할 수 있습니다. $\mathcal{C}$ 다이어그램의 $\mathcal{D}$.
요 네다 대표가 $\bar{\mathcal{D}} \to [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ 완전히 신실하지도 않고 공동 제한을 보존하지도 않을 수도 있지만 ... 이것은 단지 첫 번째 단락의 경고를 바꾸는 것입니다.