다음 세트의 최고 값 찾기 $A$

Question

저는 Understanding AnalysisStephen Abbott 의자가 학습 기초 실제 분석입니다 . 누군가가 올바른 증거를 추론하는 데 도움을 줄 수 있는지 묻고 싶습니다. 아래는 첫 번째 스케치이지만 문제가 있다고 생각합니다.

허락하다 $A \subseteq \mathbf{R}$ 비어 있지 않고 위에 묶여 있고 $s \in \mathbf{R}$ 모두를위한 재산을 가지고 $n \in \mathbf{N}$, $s + \frac{1}{n}$ 에 대한 상한입니다. $A$ 과 $s - \frac{1}{n}$ 에 대한 상한이 아닙니다 $A$. 보여줘$s = \sup A$.

증명.

허락하다 $s = \sup A$.

아르키메데스의 부동산 재산에 의해 $\mathbf{N}$ 안에 앉다 $\mathbf{R}$. 아르키메데스의 실수 속성에 대한 진술은 다음과 같이 말합니다.

모든 실수에 대해 $\epsilon > 0$, 자연수가 존재합니다 $n$, 그런 $\frac{1}{n} < \epsilon$.

(1) 청구 : $s$ 에 대한 상한입니다. $A$.

임의로 작지만 고정 된 양의 실수를 선택합시다 $\epsilon > 0$. 우리가 가진 것은 :

\begin{align*} (\exists n \in \mathbf{N}) \text{ such that, }&\frac{1}{n} < \epsilon \\ \implies(\exists n \in \mathbf{N}) \text{ such that, }&-\frac{1}{n} > -\epsilon \\ \implies(\exists n \in \mathbf{N}) \text{ such that, }& s-\frac{1}{\epsilon} < s-\frac{1}{n} \end{align*}

그러나,

\begin{align*} (\forall n \in \mathbf{N}), s - \frac{1}{n} \text{ is not an upper bound} \end{align*}

따라서 그 자연수가 무엇이든 $n$ 이다, $s - \epsilon$ 상한이 아닙니다.

있어야합니다 $K_\epsilon = s - \frac{\epsilon}{2} \in A$, 그런 $s - \epsilon < K_\epsilon$.

우리의 선택 이후 $\epsilon$ 처음에는 임의적이었습니다. $K_\epsilon < s$ 모든 $K_\epsilon \in A$. 그 후,$s$ 에 대한 상한입니다. $A$.

(2) 주장 : $s$ 에 대한 최소 상한입니다. $A$.

우리는 $s + \frac{1}{n}$ 에 대한 상한입니다. $A$ 모든 자연수 $n$. 따라서 자연수가 무엇이든$n$ 이다 $s + \epsilon$상한입니다. 과,$s < s + \epsilon$ 어떠한 것도 $\epsilon > 0$. 그래서,$s$ 최소 상한입니다.

Answer 1

우선 : s는 A의 상한입니다. 거짓이라고 가정합니다. $ \exists a \in A, a-s\gt 0$. 정의$\delta = a-s, \delta \gt 0$. 문제는 모든 자연에 대해$a\le s+ \frac{1} {n} $. 우리는해야$\forall n \in N, \delta \le \frac{1} {n} $. 그것은 거짓입니다. 그런 다음 s가 최소 상한임을 증명하고 싶습니다.$\forall \epsilon \gt 0, \exists n \in N such as \frac{1} {n} \lt \epsilon, so \frac{-1}{n} \gt - \epsilon$. 따라서 문제의 가설을 사용하여$s- \frac{1} {n} $ A의 상한이 아닙니다. $a \in A$, (n에 따라 다름), 예 : $s- \frac{1} {n} \lt a$ ), $\forall \epsilon \gt 0, \exists a \in A such as s-\epsilon \lt s -\frac{1} {n} \lt a$.