대칭 차이의 대칭 차이

Question

나는 이 사실을 우연히 발견했을 때 대칭적인 차이를 찾기 위해 위키피디아를 둘러보고 있었다 .

부울 그룹의 역의 속성에서 반복되는 두 대칭 차이의 대칭 차이는 두 다중 세트 결합의 반복 된 대칭 차이와 동일하며, 여기서 각 이중 세트에 대해 둘 다 제거 할 수 있습니다. 특히:$$A△C = (A△B)△(B△C)$$

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어디 $A△C$ A와 C의 대칭 차이입니다.

이다 $A△C = (A△B)△(B△C)$ 일반적인 경우에 사실입니까?

나는 그것을 증명해 보았지만 모든 것을 조합, 보완, 교차로 줄이려고 시도했을 때 용어의 양은 나에게 휘둘리지 않게 늘어났다. 누구나이 신원에 대해 알고있는 증거가 있습니까?

Answer 1

세트의 대칭적인 차이 를 취하는 것이 연관 적이 라는 것을 증명 한 후에는 증명이 어렵지 않습니다 . 이 사실을 사용하여 모든 세트에 대해$A, B$ 과 $C$ 우리는 \begin{align} (A \bigtriangleup B) \bigtriangleup (B \bigtriangleup C) &= A \bigtriangleup (B \bigtriangleup (B \bigtriangleup C)) \\ &= A \bigtriangleup ((B \bigtriangleup B) \bigtriangleup C) \\ &= A \bigtriangleup(\emptyset\bigtriangleup C) \\ &= A \bigtriangleup C. \end{align}

이 단계에서이 ID가 다중 세트에 적용되는지 여부는 확실하지 않습니다.

Answer 2

이것의 핵심은 집합 차이 (및 보완)를 CNF 및 DNF로 확장하는 방법을 설정하는 것입니다. 그리고 물론 삼각형으로 다시 변환하는 데 필요한 형식을 명확히해야합니다.

$$\def\c{^{\small\complement}}\def\symdiff{\mathop{\triangle}}~~~~ X\symdiff Y ~{= (X\cap Y\c)\cup(X\c\cap Y)\\=(X\cup Y)\cap (X\c\cup Y\c)} \\(X\symdiff Y)\c~{=(X\cap Y)\cup(X\c\cap Y\c)\\=(X\cup Y\c)\cap(X\c\cup Y)}$$

이제 확장 : 먼저 루트를 변환 $\symdiff$DNF로, 각각 CNF로 분리됩니다. (또는 다른 방법으로 할 수도 있습니다). 물론 목표는 모든$B$ ~로부터 $A$ 과 $C$.

$\quad(A\symdiff B)\symdiff (B\symdiff C) \\=((A\symdiff B)\cap(B\symdiff C)\c)~\cup~((A\symdiff B)\c\cap(B\symdiff C))\\={((A\cup B)\cap(A\c\cup B\c)\cap(B\cup C\c)\cap(B\c\cup C))~\cup~((A\cup B\c)\cap(A\c\cup B)\cap(B\cup C)\cap(B\c\cup C\c))}\\={(((A\cap C\c)\cup B)\cap((A\c\cap C)\cup B\c))~\cup~((A\cap C\c)\cup B\c)\cap((A\c\cap C)\cup B))}$

눈을 더 쉽게 만들려면 $U=(A\cap C\c)$ 과 $V=(A\c\cap C)$, 그리고 우리는 $A\symdiff C=U\cup V$.

$\quad(A\symdiff B)\symdiff (B\symdiff C) \\=((U\cup B)\cap(V\cup B\c))~\cup~((U\cup B\c)\cap(V\cup B))$

여기에서 가져갈 수 있습니다.