대칭 함수의 일반화

Question

ㅏ $n$-변수 기능 $f$ 대칭 함수입니다. $$f(x_1,x_2, \ldots, x_n) = f(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \ldots, x_{\sigma(n)})$$ 모든 순열에 대해 $\sigma \in S_n$. 특히$f$ 다항식이면 $f$대칭 다항식입니다. 이러한 개체는 광범위하게 연구되었습니다.

다음 일반화가 연구되었는지 궁금합니다. ㅏ$n^2$-변수 기능 $f$ 이다 $S_n$-대칭 기능 if $$f(x_{11}, x_{12}, \ldots, x_{1n}, \ldots, x_{nn}) = f(x_{\sigma(1)\sigma(1)}, x_{\sigma(1)\sigma(2)}, \ldots, x_{\sigma(1)\sigma(n)}, \ldots, x_{\sigma(n)\sigma(n)})$$ 모든 순열에 대해 $\sigma \in S_n$.

그런 물건들은 너무나도 자연 스럽기 때문에 연구 된 것 같다. 그러나 나는 키워드를 모르고 문헌을 찾을 수 없었습니다.

누구든지 그들에 대한 정보를 제공 할 수 있다면 매우 감사합니다. 미리 감사드립니다.

Answer 1

허락하다 $w\in S_n$ (대칭 그룹) 사이클 유형 있음 $\lambda =(\lambda_1,\dots, \lambda_\ell)\vdash n$, 어디 $\ell=\ell(\lambda)$ 길이 (0이 아닌 부분의 수)입니다. $\lambda$. 그런 다음 유도 된 행동$w$ 의 위에 $[n]\times [n]$ (어디 $[n]=\{1,2,\dots,n\}$)에는 순환 열거자가 있습니다. $$ \prod_{i=1}^{\ell(\lambda)} \prod_{j=1}^{\ell(\lambda)} z_{\mathrm{lcm}(\lambda_i,\lambda_j)}^{\mathrm{gcd}(\lambda_i,\lambda_j)}. $$ 허락하다 $f_n(d)$ 변수에서 복소 다항식 공간의 차원 $x_{ij}$, $1\leq i,j\leq n$, 그것은 정도의 동종입니다 $d$ 과 $G$-불변. 그런 다음 Molien의 정리에 의해$$ F_n(x):=\sum_{d\geq 0} f_n(d)x^d $$ $$ \ \ = \frac{1}{n!}\sum_{\lambda\vdash n} \frac{n!}{z_\lambda}\prod_{i=1}^{\ell(\lambda)} \prod_{j=1}^{\ell(\lambda)} \frac{1}{\left(1-x^{\mathrm{lcm}(\lambda_i,\lambda_j)}\right)^ {\mathrm{gcd}(\lambda_i,\lambda_j)}}. $$ 표준 대칭 함수 표기법을 사용하고 있으므로 $n!/z_\lambda$ 순열의 수입니다. $S_n$ 사이클 유형 $\lambda$. 예를 들어$$ F_1(x) = \frac{1}{1-x} $$ $$ F_2(x) = \frac{1+x^2}{(1-x)^4(1+x)^2} $$ $$ F_3(x) = \frac{1+3x^2+10x^3+16x^4+12x^5+16x^6+10x^7+3x^8+x^{10}} {(1-x)^9(1+x)^4(1+x+x^2)^3}. $$ 추가. 여기 에서 찾을 수있는 유한 그룹의 불변 이론을 사용하여 링에 대한 추가 정보를 얻을 수 있습니다.$R$불변 다항식의. 예를 들어$S$ 모든 대칭 기능의 하위 링입니다. $x_{ij}$의 다음 $R$ 유한하게 생성 된 무료입니다. $S$-계급 모듈 $n^2!/n!$.