다항식의 최소 근 수

Question

실제 계수가있는 다항식 𝑔 (𝑥)의 경우 $𝑚_𝑔$ 고유 한 실제 뿌리의 수를 나타냅니다. $𝑔(𝑥)$. 𝑆가 다음과 같이 정의 된 실수 계수가있는 다항식 집합이라고 가정합니다.$𝑆 =\{{(𝑥^2 − 1)^2(𝑎_0 +𝑎_1𝑥+𝑎_2𝑥^2 + 𝑎_3𝑥^3) ∶ 𝑎_0, 𝑎_1, 𝑎_2, 𝑎_3 ∈ ℝ}\}$다항식 𝑓의 경우 𝑓 ′와 𝑓 ′ ′이 각각 1 차 및 2 차 도함수를 나타냅니다. 그런 다음 가능한 최소값$(𝑚_{𝑓′} + 𝑚_{𝑓′′})$, 여기서 𝑓 ∈ 𝑆는 _____입니다.

나는 뿌리가 개별적으로 풀 수는 없지만, Rolle의 정리를 적용하여 풀거나 찾을 수 있다는 것을 알고 있습니다. 첫 번째와 두 번째 derevative에 대한 최소 근 수를 찾는 방법

Answer 1

같이 $S={(x-1)}^2{(x+1)}^2(p(x))$ 우리는 $(1,-1)$ 반복되는 뿌리입니다! :$f'(1)=f'(-1)=0$

$f(1)=f(-1)=0$ 그 후 $f'(k)=0$ 일부 $k$ 에 $(-1,1)$.또한 $f'(-1)=f'(1)=0$(반복 뿌리).

$f'(-1)=f'(k)=0$ 따라서 일부가 있습니다 $d$ 에 $(-1,k)$ $f''(d)=0$ 유사하게 threre는 일부입니다 $m$ 에 $(k,1) $ ...에 대한 $f''(m)=0$.

따라서 최소 루트 수 $f'$ 이다 $3$: 뿌리는 $(-1,1,k)$

그리고 $f''$ 뿌리는 다음과 같습니다.$(m,d)$

따라서 최소값은 5입니다.