다중 파열

Question

내가 고려한다고 가정하자. $\mathbb{P}^6$, 하위 변종 $Y=V(x_2,\ldots,x_6)\simeq \mathbb{P}^1$ 과 $Z=V(x_0,\ldots,x_3)\simeq \mathbb{P}^2 $.

나는 폭발이 무엇인지 이해하고 싶다. $\mathbb{P}^6$ ...을 따라서 $Y,Z$. Harris의 Algebraic Geometry 책에 따라 저는$Bl_Y(\mathbb{P}^6)$: 이상 $Y$ 이다 $I(Y)=(x_2,\ldots,x_6)$, 그래서 나는 합리적인지도를 가지고

$$\phi:\mathbb{P}^6 \dashrightarrow \mathbb{P}^4, p\mapsto [p_2:\ldots:p_6]$$ 과 $Bl_Y(\mathbb{P}^6)\subset \mathbb{P}^6\times\mathbb{P}^4$ 그래프와 관련된 닫힌 품종입니다. $\phi$.

이제 폭파하고 싶어 $\mathbb{P}^6$ ...을 따라서 $Z$, 그래서 나는 공부가 필요하다고 생각합니다

$$Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))$$

여기에 몇 가지 질문이 있습니다.

• $Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))\subset \mathbb{P}^6\times \mathbb{P}^4 \times \mathbb{P}^3$? 위의 절차를 반복했기 때문에 그런 것 같아요.$n$-예를 들어 블로우 업은 다음의 데카르트 곱으로 산다. $n+1$-투영 공간 (분명히 Segre지도를 통해 삽입 할 수 있음)
• 동시에 날려도 될까요 $\mathbb{P}^6$ ...을 따라서 $Y,Z$? 동일한 구조를 얻습니까?
• (위 질문에 링크 됨) : $Y\cap Z \neq \emptyset$?

Answer 1

1. 예, 할 수 있습니다. $d$ 내부 방정식 $X$, 제품에 파열을 삽입 할 수 있습니다. $X\times\Bbb P^{d-1}$. 이것은 상대 프로젝트로서의 폭발에 대한 설명에서 다음과 같습니다.$Bl_ZX=\underline{\operatorname{Proj}} \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$, 로컬에서 $X$ 우리는 추측을 얻습니다 $\mathcal{O}_X[t_1,\cdots,t_d]\to \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$ (접착 후) 폐쇄 침지에 해당 $Bl_ZX\hookrightarrow \Bbb P^{d-1}_X$.
2. 예, 만약 $Y,Z$ 두 개의 분리 된 폐쇄 서브 스켐이고 모든 파열 $Bl_Y(Bl_Z X)$, $Bl_Z(Bl_Y X)$ 과 $Bl_{Y\cup Z} X$동일합니다. 폭발은 폭파하는 것과는 거리가 먼 동형이기 때문에 이것은 로컬에서 확인할 수 있습니다.
3. 우리가 적절하게 일반화하면 2에서 얻은 결론의 일부가 유지됩니다. $Bl_{\pi^{-1}(Y)}(Bl_Z X) \cong Bl_{\pi^{-1}(Z)}(Bl_Y X)$(이것은 Eisenbud 및 Harris의 The Geometry of Schemes의 Lemma IV-41입니다 ). 이것은 엄격한 변환이 아니라 전체 변환입니다. 엄격한 변환은 순서에 민감합니다. 이것이 같은지 여부$Bl_{Y\cup Z}(X)$ 아마도 어떻게 $Y$ 과 $Z$ 교차하지만 지금은 유용한 예제가 없습니다. 기본적으로 특이점 해결에 대한 모든 일반적인 이론은 부드러운 중심을 따라 폭발을 가정하여 개발되어 2의 상황으로 돌아갑니다.