단의 접착력을 보여주는

Question

나는 열린 덮개 접착제의 요소에 대한 단이 전체 공간의 단에 있음을 증명하려고합니다. 정확히 저는 Stacks 프로젝트를 따르고 있으며 아래의 제안을 증명하려고 노력하고 있습니다.

나는 다음과 같이 시작했다.

컬렉션 $\mathcal{B}$ 오픈 세트 $U\subset X$ 다음 중 하나에 포함 된 $U_i$ 토폴로지의 기반을 형성합니다. $X$. 만약$U\in\mathcal{B}$, 우리는 뭉치를 정의 $\mathcal{B}$ 설정하여 $F(U)=\mathscr{F}_i(U)$ 할때는 언제나 $U\subset U_i$. 동 형사상$\varphi_{ij}$ 이것이 선택의 선택과 무관하다는 것을 보여줍니다 $i$. 제한 맵은$\mathscr{F}_i$. 또한 사실$\mathscr{F}_i$ 뭉치가 실제로 의미 $F$ 뭉치다 $\mathcal{B}$. 이것은 뭉치까지 확장됩니다$\mathscr{F}$ 의 위에 $X$.

이제 다이어그램을 통근시키는 동형이 존재한다는 것을 증명해야합니다. 사실, 이후$\mathscr{F}$ 일치하다 $F$ 할때는 언제나 $U\subset U_i$, 우리는 단의 동형이 있습니다 $\mathscr{F}|_{U_i}\to \mathscr{F}_i$. 이 다이어그램이 통근한다는 것을 어떻게 보여줄지 모르겠습니다. 아직 사용하지 않았기 때문에 반드시 코 사이클 조건을 사용해야하는데 방법을 모르겠습니다.

추신 : 사실 MSE에서 관련된 모든 답변을 읽었지만 공개 세트 기반을 사용 하여이 결과를 증명하려는 사람은 없으므로 도움이되지 않았습니다.

Answer 1

이것은 완전한 대답은 아니지만 코멘트를하기에는 너무 깁니다.

만약 $U\in\mathcal{B}$, 우리는 뭉치를 정의 $\mathcal{B}$ 설정하여 $F(U)=\mathscr{F}_i(U)$ 할때는 언제나 $U\subset U_i$. 동 형사상$\varphi_{ij}$ 이것이 선택의 선택과 무관하다는 것을 보여줍니다 $i$.

나는 이미 이것이 문제를 끝낼 수있을만큼 충분히 정확하지 않다고 생각합니다.

사실 그룹 $F(U)$ 매우 많이 선택에 달려 있습니다 $i$ (예를 들어 $\mathscr{F}_1(U)$ 빨간색과 요소 $\mathscr{F}_2(U)$파란색입니다. 요소는 어떤 색입니까$F(U)$?) 선택에 의존하지 않는 그룹의 동형 클래스입니다. $i$ -그러나 각각에 대해 그룹의 동형 클래스 지정 $U$ (사전) 뭉치를 정의하기에 충분하지 않습니다.

일반적으로 그러한 현학성에 대해 너무 고민하지는 않지만,이 문제에서는 통근 다이어그램을 확인하기 위해 동형을 추적해야하기 때문에 현 학성이 핵심입니다.

Answer 2

@RaviFernando의 아이디어를 작동시킬 수는 없었지만 "가능한 모든 선택을 시도"하는 휴리스틱은 작동했습니다. (내 생각 엔 ...)

(정리 19.5.1은베이스의 단이 "일반"단으로 고유하게 확장 될 수 있다는 사실이며 명제 19.5.3은 단 단이 실제로 단이라는 사실입니다.)

내 답변에 대한 의견을 듣고 싶습니다. @ RaviFernando의 아이디어가 어떻게 작동하는지 정말보고 싶습니다.