드럼의 멤브레인은 어떻게 진동합니까?
나는 단순한 나무 드럼의 문제에 대해 생각하고 있었는데, 구조는 막과 나무의 원형 부분 뿐이다. $T$ 밀도가 있습니다 $\rho$ 우리는 둘레의 점이 고정되어 있음을 알고 있습니다.
막의 움직임은 다음과 같이 설명 할 수 있습니다. $T(\frac{d^2z}{d^2x} + \frac{d^2z}{d^2y})=\rho\frac{d^2z}{d^2t}$ 따라서 막의 정상 모드를 찾고 있다면 다음과 같이 가정 할 수 있습니다. 솔루션의 형식은 다음과 같습니다. $z(x,y,t) = Acos(k_xx + \theta_x)cos(k_yy + \theta_y)cos(\omega t + \phi)$
내가 막히는 부분은 표면의 모든 지점이 z 축에 고정되어 있는지 (상하 움직임이 없음)이며 발생하는 모든 일은 다음과 같습니다. "바게트로 막에 닿으면 반사되는 진행파가 생성됩니다. 막의 유한 한 끝에 도달하고 pernament 상황에서 표면 정재파가 있습니다. " 또는 막이 실제로 진동하는 경우$A \to 0$ 하지만 여전히 $A \neq 0 $ z 축에서 ... 어떤 아이디어?
답변
주의 : 방정식을 미분 방정식에 연결할 수 있고 작동한다고해서 물리적 시스템에 유효한 솔루션이라는 의미는 아닙니다. 경계 조건을 잊고 있습니다.
드럼이 원형 멤브레인 이기 때문에 제안한 방정식은 해결책이 아닙니다 . 즉, 경계 조건을 충족해야합니다.$z(x,y,t)=0$ 항상 포인트가 $(x,y)$ 드럼 가장자리에 있습니다.
제안 된 "솔루션"을 살펴보면 $z=0$ 언제 $x=(1/k_x)\cdot(m\pi/2-\theta_x)$ 또는 언제 $y=(1/k_y)\cdot(n\pi/2-\theta_y)$ 홀수 정수 $m$ 과 $n$. 이 점들의 집합은 원이 아니라 일정한 간격의 격자를 설명합니다.$^*$
적절한 경계 조건과 함께 유효한 솔루션을 결정해야합니다. 다행히도 이전에 여러 번 수행되었습니다 . 일반적인 접근 방식은 좌표계를 극좌표로 변환하는 것입니다.$z=0$ 언제 $r=R$, 드럼의 반경. 그런 다음 해가 Bessel 함수 의 선형 조합으로 표현 될 수 있으며 선형 조합은 멤브레인의 초기 조건에 따라 달라진다는 것을 보여줄 수 있습니다.
더 자세한 내용은 위의 링크 또는 편미분 방정식, 물리 과학 수학 등에 대한 괜찮은 교과서에서 찾을 수 있습니다.
$^*$따라서 솔루션은 직사각형 멤브레인의 진동에 유효 할 수 있습니다 .
첫째, 미분 방정식은 편미분 방정식이므로 편미분이 필요합니다 .
드럼이 원형이기 때문에 첫 번째 방정식을 극좌표 로 변환해야합니다 .
$$T\Big(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\Big(r\frac{\partial z}{\partial r}\Big)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2z}{\partial \varphi^2}\Big)=\rho\frac{\partial z^2}{\partial t^2}$$ 그래서 우리는 함수를 찾고 있습니다 : $$z(r,\varphi,t)$$ 재 작업 및 PDE 속기 : $$z_{rr}+\frac{1}{r}z_r+\frac{1}{r^2}z_{\varphi \varphi}=\frac{1}{c^2}z_{tt}\tag{1}$$
와: $$c^2=\frac{T}{\rho}$$ 경계 조건도 있습니다. $$z(R,\varphi,t)=0\tag{2}$$ 어디 $r=R$드럼의 반경입니다. (나중에 각 변수에 대해 2 차 PDE에 2 개가 필요하므로 다른 경계 조건을 찾을 수 있습니다.)
그리고 초기 조건 :
$$z(r,\varphi,0)=f(r,\varphi)$$
균일 한 경계 조건 때문에 $(2)$이 PDE는 [변수 분리] [1]로 풀 수 있습니다. 이것은 HW & E 질문이기 때문에 올바른 방향으로 만 안내하겠습니다.
시작 가정 ( 'Ansatz')으로 다음을 사용합니다.
$$z(r,\varphi,t)=R(r)\Phi(\varphi)T(t)$$
또는 짧게 :
$$z=R\Phi T$$ 이제 Ansatz를 PDE에 삽입하십시오. $(1)$: $$\Phi TR''+\frac{1}{r}\Phi TR'+\frac{1}{r^2}RT\Phi''=\frac{1}{c^2}R\Phi T''$$ 모든 것을 다음으로 나누기 $R\Phi T$:
$$\frac{R''}{R}+\frac{R'}{rR}+\frac{\Phi''}{r^2 \Phi}=\frac{1}{c^2}\frac{T''}{T}$$ 우리가 어떻게 헤어 졌는지 주목하세요 $T$ 다른 두 함수를 모두 형성하므로 다음과 같이 작성할 수 있습니다. $$\frac{R''}{R}+\frac{R'}{rR}+\frac{\Phi''}{r^2 \Phi}=\frac{1}{c^2}\frac{T''}{T}=-m^2$$ 어디 $m^2$ 분리 상수로 알려진 실수입니다.
우리는 이제 $2$ 방정식 :
$$\frac{1}{c^2}\frac{T''}{T}=-m^2\tag{3}$$
과: $$\frac{R''}{R}+\frac{R'}{rR}+\frac{\Phi''}{r^2 \Phi}=-m^2$$ 곱하기 $r^2$:
$$\frac{r^2R''}{R}+\frac{rR'}{R}+\frac{\Phi''}{\Phi}=-m^2 r^2$$ $$\frac{r^2R''}{R}+\frac{rR'}{R}+m^2 r^2=-\frac{\Phi''}{\Phi}=-l^2$$ 그러면 두 가지 방정식이 더 있습니다. $$-\frac{\Phi''}{\Phi}=-l^2\tag{4}$$ $$\frac{r^2R''}{R}+\frac{rR'}{R}+m^2 r^2+l^2=0\tag{5}$$
그리고 이것이 당신에게 즐거움이 시작되는 곳입니다. $(3)$, $(4)$ 과 $(5)$ 풀어야 할 세 가지 상미 분 방정식입니다!
1 https://en.wikipedia.org/wiki/Separation_of_variables