독립 이벤트의 존재

Question

허락하다 $(\Omega, \mathcal {F},\mathbb {P})$ 다음과 같은 확률 공간 $\Omega$ 셀 수 있고 $\mathcal {F}=2^{\Omega}$. 셀 수있는 이벤트 모음이 존재하는 것이 불가능하다는 것을 보여주고 싶습니다.$A_{1},A_{2},\cdots\in \mathcal {F}$ 독립적입니다. $\mathbb {P}(A_{i})=\frac {1}{2}$ 각각 $i$. 나는 보여주는 것 같아요$\mathbb {P}(\omega)\leq \frac {1}{2^n}$ ...에 대한 $\omega\in\Omega$ 과 $n\in \mathbb {N}$ 도움이 될까요?

Answer 1

조건이 의미하는 바를 보여주는 것으로 충분합니다. $P(\{\omega\}) = 0$ 모든 $\omega \in \Omega$, 따라서 $P(\Omega)=0$, 사실과 모순되는 $P$확률 측정 값이어야합니다. 따라서 지금부터 고정 된$\omega \in \Omega$. 세트 정의$B_1,B_2,\dots$ 다음과 같이 $$B_i := \begin{cases} A_i &, \text{ if $\ omega \ in A_i$} \\ \Omega \setminus A_i &, \text{ otherwise} \end{cases}.$$ 이제 주어진 $A_1,A_2,\dots$ 독립적이다 $P(A_i)=\frac12$ 그것은 다음과 같다 $B_1,B_2,\dots$ 독립적이다 $P(B_i)= \frac12$. 이제 건설을 통해 우리는$\omega \in \bigcap_{i=1}^\infty B_i$ 따라서 우리는 $$P(\{\omega \})\leq P(\bigcap_{i=1}^\infty B_i) =\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^n} = 0.$$

Answer 2

힌트 :

허락하다 $A_\infty$ 집합이된다 $\omega$ 무한히 많은 $A_i$.

먼저, 각각 $\omega\in A_\infty$ 만족하다 $\Bbb P(\{\omega\})=0$.

그런 다음 Borel-Cantelli 기본형 (독립성 또는 쌍별 독립이 중요한 역할을하는)의 버전을 사용하여 $\Bbb P(A)=1$ 보류.

이후 $\Omega$ 셀 수 있으며 이것은 모순을 초래할 것입니다.