"독립적이고 특이한"방식으로 수학 학습
이것은 표준 학부 / 대학원 교육 이외의 수학 학습에 관한 질문입니다.
다음은 Thurston의 On Proof and Progress in Mathematics에서 인용 한 것입니다 .
내 수학적 교육은 다소 독립적이고 특이해서 수년 동안 스스로 무언가를 배웠고, 수학에 대해 생각하는 방법에 대한 개인적인 정신 모델을 개발했습니다. 이것은 수학자 그룹이 공유하는 표준 정신 모델을 나중에 쉽게 선택할 수 있기 때문에 수학에 대해 생각할 때 종종 큰 이점이었습니다. 이것은 제가 개인적으로 생각할 때 자유롭고 자연스럽게 사용하는 일부 개념이 제가 이야기하는 대부분의 수학자에게는 이질적이라는 것을 의미합니다. 내 개인 정신 모델과 구조는 수학자 그룹이 공유하는 모델의 종류와 성격이 비슷하지만 종종 다른 모델입니다.
위의 인용문은 Thurston의 비 전통적인 수학 교육이 수학에 대한 그의 독특한 통찰력과 공헌의 핵심임을 시사합니다. 나는 표준 수학 표준을 벗어난 학습으로부터 혜택을받은 매우 성공적인 수학자의 다른 예를 알고 있습니다.
나는 이것을 내 학습에 통합하려고 노력하고 있지만 시작하기 위해 고군분투하고 있습니다. 우선, 수학의 표준 표준은 종종 뛰어난 작가이기도 한 각 분야의 마스터 (예 : Thurston, Milnor, Serre, Stein)에 의해 작성됩니다. 반면에 잘 알려지지 않은 텍스트가 많고 (특이한 경우에도) 표준에 비해 훨씬 적은 통찰력을 제공합니다. 따라서 수학에 대한 위의 "독립적이고 특이한"접근 방식을 추구하는 데 방해가되는 한 가지는 어떤 책이 진정으로 유용한 지 판단하는 것 같습니다.
내 질문. "독립적이고 특이한"방식으로 수학을 얼마나 구체적으로 배우는가?
위의 답변에 도움이 될 수있는 구독 :
1.) 교과서를 선택할 때 무엇을 찾아야합니까? 다시 말하지만 저는 수학을 배우는 비표준적인 방법을 찾고 있습니다.
2.) 문제, 정리 등에 대해 생각할 때 명심해야 할 것이 있습니까?
3.) 위의 목표를 달성하는 데있어 사회 학적 장애물은 무엇입니까? (예를 들어, 학부생으로서 특정 방식으로 수학을 배우려는 분명한 추진력이 있습니다. 이것이 독립성과 특이성을 달성하는 데 방해가 될 수 있습니까?)
제 질문에 대한 답은 청중에 따라 다르기 때문에이 질문에 대해서는 학부생이나 대학원생 초급자 만 관심을 가지도록하겠습니다. 또한 내 목표는 성공적인 연구 수학자가되는 것이기 때문에 (stackexchange와는 반대로) MathOverflow에 대해이 질문을하고 있습니다 (수학 수업에서 더 나은 성적을 얻는 것과는 반대로).
답변
정말로 독립적이고 특이한 방식으로 수학을 배우고 싶다면, 다른 사람들에게 조언을 구하고 그 조언을 따르는 것은 정확하게 그것에 대해 잘못된 방법입니다.
Thurston은 수학적 문제와 구조에 대해 대부분 자신과 자신의 방식으로 생각했습니다. 그는 MathOverflow에 사람들에게 교과서를 고르는 방법을 묻는 글을 올리지 않았습니다. 독립적이고 특이한 사람이되고 싶다면 다른 사람들의 말을 읽고 따르는 대신 가능한 한 자신의 방식으로 생각해야합니다.
자, 당신은 또한 성공적인 연구 수학자가되고 싶다고 말했습니다. 이 목표는 독립적이고 특이한 목표와 다소 긴장감이 있음을 알고 있어야합니다. 체스에는 많은 게임을 잃는다는 말이 있습니다. 수학은 체스가 아니지만 전통적인 경로를 따르는 것이 더 나은 성공 확률을 제공 할 것이라는 것은 여전히 사실입니다. 그래서 당신에게 더 중요한 것이 세상적인 성공인가 아니면 독립적 인 생각인가?
상자 밖에서 생각하기보다는 더 큰 상자를 갖도록 노력하는 것이 좋습니다. 나는 J.-P와 같은 많은 위대한 수학 자라고 말하고 싶습니다. Serre는 수학을 매우 광범위하게 배웠고 받아 들였기 때문에 질문을 풀려고 할 때 사용할 수있는 훌륭한 도구 세트를 가지고 있었기 때문에 ' 혁명적 인'아이디어 를 갖고 새로운 분야를 개발할 적절한시기에 준비되었습니다 . 많은 수학을 시도하는 것의 좋은 점은 이것이 평생 동안 계속 될 수 있다는 것입니다!
교육자와 영감을주는 연사 사이에는 실수를하면 최상의 학습이 이루어진다는 일반적인 감각이 있습니다. (저는 이것을 뒷받침하는 과학을 찾고 싶습니다!) 적어도 그것은 연습을하는 것이 텍스트를 읽는 것만 큼 중요하다는 것을 의미합니다. 나는 (그들과 시간을 보내는 특권을 가졌던) 가장 독특하고 독립적 인 수학자들이 가장 기꺼이 스스로 생각하고 자신의 실수를 만들어 낸다고 생각한다.
예를 들어, 이것은 진술이 명확하지 않은 모든 지점에서 멈추고 직접 작성하려고한다는 것을 의미 할 수 있습니다. 이것은 항상 쉬운 것은 아니지만 정말 보람이있을 수 있습니다. 이런 식으로 전체 주제를 배우는 것이 더 어려워 보입니다. 차라리 숲에서 길을 잃고 때때로 주요 경로로 돌아가는 길을 찾아야한다고 생각합니다. 나는 확실히 이것에 대한 조리법이 없습니다 (사실 내가 이것을 마스터한다고 주장하지도 않습니다).
수학은 실수와 막 다른 골목을 문서화하지 않는 이상한 습관을 가지고 있으며 과학적 원리는 우리에게 말해줍니다 (주요 주제가 "우리가 시도한 결과 다음과 같은 이유로 갇혀 있습니다"라는 논문을 얼마나 자주 보셨습니까?). 방법론을 체계적으로 문서화하지 않는다는 점에서 (당신이 그것을 부를 수 있다면) 과학들 사이에서 독특합니다 . 오히려 최종 결과 만 표시됩니다. 위대한 수학자들이 어떻게 일하는지 정말로 이해하고 싶다면 그들이 생각의 실수를 문서화했다면 좋을 것입니다.
이 중 일부는 실제로 인쇄물로 제공됩니다! 예를 들어, Serre–Tate 서신은 그룹 코 호모 로지의 많은 발전과 그들이 진화하고있는 다른 많은 주제를 문서화하고 있으며, 정확히 그 이유에 대한 매혹적인 읽기입니다. 그것은 단지 그것에서 나오는 최종 결과물이 아니라 수학자들의 마음에 드문 통찰력을 제공합니다.
시무라 고로가 타니 야마 유타카 (FLT의 Horizon 다큐멘터리에서)에 대해 한 말로 마무리하겠습니다.
그는 수학자로서 매우 신중한 사람이 아니 었습니다. 그는 많은 실수를 저질렀습니다. 그러나 그는 좋은 방향으로 실수를했습니다. 나는 그를 모방하려고했다. 하지만 좋은 실수를하는 것이 매우 어렵다는 것을 깨달았습니다.
"독립적이고 특이한"방식으로 수학을 배우고 자한다면, 어느 정도 지적 겸손으로 그렇게하십시오. 이와 같은 것을 성공적으로 뽑아 낼 수있는 모든 Thurston에게는 페르마의 마지막 정리에 대한 기초적인 증거를 발견했다고 스스로 확신 한 몇 가지 수학적 크랭크가 있습니다. 나는 수년에 걸쳐 그들 중 공정한 몫을 다루었습니다. 문제의 상자가 신중한 추론의 상자가 아닌 한 상자 밖에서 생각하는 것이 도움이 될 수 있습니다.
수학적 크랭크가 반드시 좋은 수학적 추론 능력이없는 사람은 아닙니다. 제가 개인적으로 다룬 가장 흥미로운 크랭크는 계승 시스템 의 아이디어를 독립적으로 밟은 사람입니다.그 속성의 많은 부분을 해결했습니다. 예를 들어, 그는이 시스템에서 숫자가 한 가지 방식으로 만 표현 될 수 있다는 것이 분명하지 않으며 표현의 고유성에 대한 좋은 주장을 성공적으로 해결했다는 것을 깨달았습니다. 이 모든 것은 그의 고등학교 수학 교사가 10이 아닌 다른 숫자에 대해 이야기하는 것을 들으면서 그에게 떠오르는 아이디어에서 나왔습니다. 나는 이것에 진심으로 감동했고 그에게 그렇게 말했습니다. 크 랭커 리로의 전환은 컴퓨터가 표준 숫자 기반을 사용하고 그의 시스템이 더 적은 "숫자"를 사용하여 모든 숫자를 표현할 수 있다는 생각과 함께 모든 데이터를 압축하는 데 자신의 계획을 사용할 수 있다고 주장했을 때 발생했습니다. 그는 보편적 인 압축 체계의 불가능성에 대한 단순한 비둘기 구멍 논쟁에 대해 불투명 해 보였다.그가 "독립적이고 특이한"방식으로 사소한 양의 수학을 배웠다는 것은 의문의 여지가 없습니다. 불행히도 그의 재능에도 불구하고 그의 특이한 방식은 실수하기 쉽습니다.
There are many many many masters recent and old. They've written not just their most famous books, but other monographs and research papers. Nobody is reading all of them. Part of the point is not that what you learn has to be quirky, but that when confronted by problems in some domain, you have some tricks up your sleeve that others looking at the same problem may not.
따라서 우선, Hilbert (-Courant), Weyl, Gelfand, Arnold, Kolmogorov, Hardy, Gromov, Bott, Chern, Siegel, Poincare 등 다양한 주제에 대한 훌륭한 책을 저술 한 일부 마스터를 목록에 추가 할 수 있습니다. , Gauss, Euler, Sternberg, Whitney, E. Artin, E. Cartan, Knuth, Novikov, Lefschetz, Wiener, Pontryagin, Alexandrov, Weil, Shafarevich, Manin, Hirzebruch, Atiyah, Donaldson, Ahlfors, Thom, Mumford, JH Conway, Coxeter, Berger, F. Klein.
... 매우 쉽게 접근 할 수있는 일부를 포함하여 연구 논문이 큰 도움이 될 수있는 다른 많은 연구 논문은 말할 것도 없습니다. 다른 분야의 누군가는 훌륭한 책을 쓴 대가들의 거의 분리 된 집합을 쓸 수 있습니다.
표준적인 책과 특이한 책을 모두 쓴 훌륭한 수학자들과 더불어 (핫 팁 : William Burke).
그리고 20 세기 이전의 많은 다른 사람들도 있습니다. 나는 그것이 접근 가능하고 여전히 사용 가능하다는 직접적인 주장을 할만큼 충분히 읽은 작품의 몇 사람만을 언급했다. 접근성을 위해 선택되고 종종 멋진 해설이있는 원본 소스가있는 멋진 책이 많이 있습니다.)
또한 개별 "마스터"외에도 러시아 표현 이론, 폴란드 토폴로지 및 기능 분석, 헝가리 조합론 등 많은 "전통"이 있습니다.
그리고 의견을 추가하려면 물리학뿐만 아니라 컴퓨터 과학, 기계 공학, 신호 및 시스템 및 사람들이 순수 수학자와 다른 모델로 높은 수준의 수학을 사용하는 기타 분야.
그리고 어쨌든 그것은 당신이 그것을 만드는 모든 것입니다. 이러한 출처 나 당신이 언급 한 저자는 믿을 수 없을 정도로 깊이있는 작품을 썼습니다. Milnor, Serre 또는 Weyl 한 권을 가져다가 1 년 동안 숲으로 가면 소진되지 않을 것입니다. 나는 Steven Chu의 강의에 갔는데 그가 대학에서 그가 할 수있는 최소한의 과정을 택했고 Feynman 강의를 읽고 다시 읽었다 고 말했습니다. 그보다 더 나쁜 일을 할 수 있습니다
또는 좋아하는 좋은 주제를 찾고 깊이 들어가면 많은 것들과 연결된다는 것을 알게 될 것입니다. 모든 방향으로 연결을 따르십시오. 수십 가지 관점에서 중요한 것을 이해합니다. 다른 누구도 정확히 동일한 도구 상자를 가질 수 없습니다.
"독립적으로"(그리고 아마도 "동 기적으로") 효과적으로 학습하려면 먼저 제시되는 자료에 대해 비판적으로 질문하는 방법을 배워야합니다. 모든 강사 또는 저자는 자신의 "특이한"방법으로 가르치고 쓸 것입니다. 표준 자료를 특이한 것으로 차별화하는 방법을 배우고 배운 내용을 자신의 "특이한"스타일로 재구성하십시오. 이것은 바로 가기를 사용하는 것이 아닙니다 (아니면 안됩니다). 실제로 더 어렵습니다. 그러나 "표준"프레젠테이션이 만족스럽지 않으면 "왜?" 당신은 만족하지 않습니다.
즉, 손전등이 더 낫다는 것을 알지 못한다면 누군가에게 손전등을 끄라고 말하지 마십시오.