Double Integrals의 변수 변경에 대한 의심.
그래서 최근에 "이중 적분"을 계산하는 법을 배웠고 변수의 변화에 의문이 생겼습니다. I = 형식의 이중 적분을 평가한다고 가정 해 보겠습니다.$\int\int _R F(x,y) dx dy $ , 어디 $F(x,y)$ 통합 가능한 부드러운 기능이며 $R$ 통합 영역입니다 $xy$비행기. 이제 극좌표로 변환하고 싶습니다$x(r,\theta)=r \cos(\theta)$ 과 $y(r,\theta) = r \sin(\theta)$. 이제 지역$R$ 에 $xy$ palne은 일부 지역으로 적절하게 변환 될 수 있습니다. $R'$ 에 $r \theta$비행기. 함수$F(x,y)$ 부드럽고 통합 가능한 형태를 취할 수 있습니다. $G(r,\theta)$. 내 주요 의심은 면적 요소의 변화입니다. 제 교과서에 따르면$dx dy = \frac{\partial (x,y)}{\partial(r,\theta)} = rdrd\theta$. 따라서 영역 요소는$r\theta$ 비행기는 $rdr d\theta$.
이제 제 이해를 가지고 조금 실험하고 싶습니다. $dx = d(r\cos\theta) = -r\sin\theta d\theta + \cos \theta dr$ 과 $dy = d(r\sin\theta)=r\cos\theta d\theta + \sin\theta dr $. 그리고 이제 나는 두 표현을 곱합니다.$dx$ 과 $dy$ : $dxdy= -r^2\sin\theta\cos\theta d\theta d\theta - r \sin^2 \theta drd\theta + r \cos^2 \theta dr d\theta + \sin \theta \cos\theta dr dr$. 이 표현은 왜 같지 않습니까?$rdrd\theta$? 그만큼$d\theta d\theta$ 과 $dr dr$용어는 나에게 매우 이상하게 보입니다. 내가 표기법을 남용하는 것입니까? 또한 다음과 같은 고차 용어가 없습니다.$dr dr d\theta$무시할 수 있습니다. 나는이 모든 것과 완전히 헷갈 린다. 누군가 나에게 이것을 조금 명확하게 설명 할 수 있습니까? 미리 감사드립니다 :).
편집 1 : 나는 미분이 "일반적인"종류의 대수 수량이 아니라는 것을 알고 있으며 우연히 그것들을 더하고 곱할 수 없습니다. 난 그냥 곱해$dx$ 와 $dy$ 일부를 곱하는 정신으로 $\delta x$ 과 $\delta y$ 그리고 둘 다 $\delta x$ 과 $\delta y$ 제로 경향이 있습니다.
편집 2 : 미분의 덧셈과 곱셈이 매우 일반적인 수학 분야가 있습니까? 미분의 미분과 같은 것이 있습니까?
답변
사이드 질문
미분의 덧셈과 곱셈이 매우 흔한 수학 분야가 있습니까? 미분의 미분과 같은 것이 있습니까?
차등 조작과 관련된 다양한 컨텍스트 / 형식화가 많이 있습니다. 그들 모두에 대한 개요를 제공하려고 노력하는 것은 완전히 별개의 질문에 합당한 큰 작업이 될 것입니다. 아주 간단하게 : 가장 일반적인 것은 수학자가 생각하기를 기대하는 것입니다.https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form".하지만"https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_calculus","https://en.wikipedia.org/wiki/Smooth_infinitesimal_analysis", http://online.watsci.org/contents2019/v26n3a.html 고차 미분 (https://arxiv.org/abs/1801.09553), 논쟁의 여지가 있습니다. https://en.wikipedia.org/wiki/Nonstandard_analysis, 그리고 아마도 내가 잊었거나 마주 치지 않은 몇 가지 다른 것들.
주요 질문
이 표현은 왜 같지 않습니까? $rdrd\theta$ ?
부인 성명
이것은 거의 전적으로 https://math.stackexchange.com/a/3775725/26369 비슷한 질문에 https://math.stackexchange.com/q/3769936/26369.
소개
다음과 같은 것에 대해 생각하는 두 가지 주요 유형이 있습니다. $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$다 변수 미적분에서 우리는 종종 문맥에 따라 그들 사이를 전환합니다. (이 설명은 부분적으로 Terry Tao의“https://www.math.ucla.edu/%7Etao/preprints/forms.pdf”.) $\mathrm{d}x$ 숫자처럼 행동하거나 벡터처럼 행동 할 수 있습니다.
“숫자”해석의 경우, 엄격한 분석을 위해 비표준 분석에서 한계 인수 또는 극소수와 같은 것이 있습니다. "벡터"해석의 경우 "미분 형식"또는 "기하학적 미적분"과 같은 것들이 있습니다. 그러나 나는 일을 공식화 하는 많은 방법이 있고 정확한 선택이 여기서 직관에 영향을 미치지 않기 때문에 이러한 세부 사항에 대해 설명 하겠습니다.
번호
사물에 대해 생각하는 한 가지 방법은 $\mathrm{d}x$ 과 $\mathrm{d}y$ 어떤면에서는 작은 직사각형의 너비와 길이를 나타내는 작은 양수와 같습니다. $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$작은 직사각형의 면적입니다. 그런 다음 다음과 같이 쓸 때$\iint f\left(x,y\right)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 또는 $\iint g\left(r,\theta\right)\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$, 서명 된 볼륨을 더합니다 ( $f$ 또는 $g$ 음수) 단면적이 다음으로 표시되는 얇은 직사각형 프리즘 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 또는 $\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$.
이 해석에 따라 $\mathrm{d}x=\mathrm d(r\cos\theta)=\cos\theta\mathrm{d}r-r\sin\theta\mathrm{d}\theta$너무 의미가 없습니다. 예를 들어$\theta=\pi/2$, 그러면 우리는 $\mathrm{d}x=-r\mathrm{d}\theta$, 그래서 $\mathrm{d}\theta$ 과 $\mathrm{d}x$둘 다 양의 길이를 나타낼 수는 없습니다 . 하지만 우리는 여전히 영역 간의 관계를 이해할 수 있습니다.$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 과 $\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$ 기하학적 인 것과 같은 인수로 https://math.stackexchange.com/a/37069/26369.
벡터
사물에 대해 생각하는 다른 방법은 $\mathrm{d}x$ 과 $\mathrm{d}y$어떤면에서는 방향이 우리가 신경 쓰는 작은 벡터 와 같 으며, 이것은 약간 다른 논의로 이어집니다. 이 벡터 아이디어를 강조하기 위해 비표준 표기법을 사용하겠습니다. 글을 쓰자$\overrightarrow{\mathrm{d}x}=\left\langle \Delta x,0,0\right\rangle$ 긍정적 인 $\Delta x$, 및 $\overrightarrow{\mathrm{d}y}=\left\langle 0,\Delta y,0\right\rangle$ 긍정적 인 $\Delta y$. 그래서$\overrightarrow{\mathrm{d}x}$ 오른쪽을 가리키는 $xy$-비행기 및 $\overrightarrow{\mathrm{d}y}$ 포인트 "위" $xy$-비행기. 그러면 그들이 만드는 작은 직사각형의 영역은$\left\Vert \overrightarrow{\mathrm{d}x}\times\overrightarrow{\mathrm{d}y}\right\Vert =\Delta x\Delta y$.
그러나 이제 벡터가 있으므로 방향을 고려할 수 있습니다. 일반적인 적분에 대해 생각할 때$\int_{\left[a,b\right]}f\left(x\right)\,\mathrm{d}x$ 언제 $f$부정적이면 그 영역을 부정적으로 계산하기로 결정했습니다. 마찬가지로, 방향이있는 직사각형의 "부호있는 영역"을 계산할 수 있습니다.$\overrightarrow{\mathrm{d}x},\overrightarrow{\mathrm{d}y}$ 긍정적 인 가치로 $\Delta x\Delta y$ (단지 $z$-구성 요소 $\overrightarrow{\mathrm{d}x}\times\overrightarrow{\mathrm{d}y}$). 그러나 방향이 지정된 직사각형의 부호있는 영역은$\overrightarrow{\mathrm{d}y},\overrightarrow{\mathrm{d}x}$ 음수 값이 될 것입니다 $-\Delta x\Delta y$ (단지 $z$-구성 요소 $\overrightarrow{\mathrm{d}y}\times\overrightarrow{\mathrm{d}x}$).
그런 다음 다음과 같이 쓸 때 $\iint f\left(x,y\right)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 또는 $\iint g\left(r,\theta\right)\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$, 우리는 (만약 우리가 선택한 경우) 묵시적 $\overrightarrow{\mathrm{d}x}\times\overrightarrow{\mathrm{d}y}$ 또는 $\overrightarrow{\mathrm{d}r}\times\overrightarrow{\mathrm{d}\theta}$ 항상 우리의 표기법은 아니지만 우리 머리 속에.
벡터와 같은 것을 사용할 때 $\overrightarrow{\mathrm{d}x}=\cos\theta\overrightarrow{\mathrm{d}r}-r\sin\theta\overrightarrow{\mathrm{d}\theta}$ 많은 의미가 있습니다. $\overrightarrow{\mathrm{d}r}$ 원점에서 떨어진 지점 $\overrightarrow{\mathrm{d}\theta}$ 수직으로 점 $\overrightarrow{\mathrm{d}r}$ 시계 반대 방향으로 (그래서 $\overrightarrow{\mathrm{d}r}\times\overrightarrow{\mathrm{d}\theta}$ 같은 긍정적 인 포인트$z$ 방향 $\overrightarrow{\mathrm{d}x}\times\overrightarrow{\mathrm{d}y}$).
마지막으로 계산을 수정할 수 있습니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{d}x}\times\overrightarrow{\mathrm{d}y}=\left(\cos\theta\overrightarrow{\mathrm{d}r}-r\sin\theta\overrightarrow{\mathrm{d}\theta}\right)\times\left(\sin\theta\overrightarrow{\mathrm{d}r}+r\cos\theta\overrightarrow{\mathrm{d}\theta}\right)$$ $$=\cos\theta\sin\theta\overrightarrow{\mathrm{d}r}\times\overrightarrow{\mathrm{d}r}-r^{2}\sin\theta\cos\theta\overrightarrow{\mathrm{d}\theta}\times\overrightarrow{\mathrm{d}\theta}+r\cos^{2}\theta\overrightarrow{\mathrm{d}r}\times\overrightarrow{\mathrm{d}\theta}-r\sin^{2}\theta\overrightarrow{\mathrm{d}\theta}\times\overrightarrow{\mathrm{d}r}$$ $$=\overrightarrow{0}-\overrightarrow{0}+r\cos^{2}\theta\overrightarrow{\mathrm{d}r}\times\overrightarrow{\mathrm{d}\theta}-r\sin^{2}\theta\left(-\overrightarrow{\mathrm{d}r}\times\overrightarrow{\mathrm{d}\theta}\right)=\boxed{r\,\overrightarrow{\mathrm{d}r}\times\overrightarrow{\mathrm{d}\theta}}$$
이것에 대한 나의 이해는 통합에서 우리가 나타내는 영역 요소 $dA = dxdy$사실 미구엘이 말한 것처럼 미분 형식입니다. 차동 2- 형태는 일정한 면적을 측정하고 웨지 제품을 통해 길이를 측정하는 차동 1- 형태로 구성됩니다.$\wedge$. 쐐기 형 제품은 공간의 외부 대수라고하는 것을 통해 공간에 대한 자연스러운 측정을 제공합니다. 예를 들어, 주어진 두 벡터$\vec{a}$ 과 $\vec{b}$ 평행 육면체의 면적은 스칼라 부분으로 제공됩니다. $\vec{a}\wedge \vec{b}$.
즉, 방향이 지정된 표면에 통합 할 때 영역 2- 형태는 다음과 같습니다. $dA = dx\wedge dy.$ 지향 영역을 설명하기 때문에 쐐기 형 제품은 반 교환 적입니다. 즉 $dx\wedge dy = -dy\wedge dx$. 그런 다음 변수를 변경할 때 2 차 형태를 만나게됩니다.$d\theta d\theta$예를 들면. 변수 변경을 다음으로 대체 할 때 여기에서 차이를 측정 값으로 해석 (예 : 차동 기하학)$dx\wedge dy$ (좋아하고 싶다면 풀백이라고 함), 반복되는 미분 1- 형식을 가진 용어는 사라져야합니다. $$d\theta \wedge d\theta = -d\theta\wedge d\theta = 0.$$
적분의 미분 형식은 다음과 같은 리만 표기법과 구별되어야합니다. $ds^2$, 이것은 실제로 텐서 곱을 나타냅니다. 차등 형식에 대한 좋은 기초 책은 Weintraub의 "Differential Forms : Theory and Practice"입니다. 또한 Wikipedia의 외부 대수 페이지를 확인하십시오.
변수의 변경은 작은 직사각형 영역을 변환합니다. $R$ 측면 $\Delta x$ 과 $\Delta y$ 지역에서 $R’$, 반드시 직사각형 일 필요는 없으므로 $R’$ 제품과 다를 수 있음 $\Delta r\cdot\Delta\theta$ "차원"의 $\Delta r$ 과 $\Delta\theta$.
극좌표의 경우 $R’$ 반지름 원으로 경계 $r$ 과 $r+\Delta r$ 각도에서 원점에서 향하는 방사형 선 $\theta$ 과 $\theta+\Delta\theta $, 그래서 영역 $R’$ 같음 $$\frac 12\Delta\theta((r+\Delta r)^2-r^2)= r\Delta r\Delta\theta+\frac 12(\Delta r)^2\Delta\theta.$$