두 변수의 합산

Question

나는 물리 화학 과정을 수강하고 있으며 우리의 연습 문제 중 일부에는 합산의 요약이 포함됩니다. 답은 있지만 어디에서 왔는지 이해할 수 없습니다.$ i $ 또는 $ j $왼쪽? 나는 당신이 내부 합산을 취한 다음 외부 합산을했다고 생각했지만 두 변수 측면에서 모두이기 때문에 정답을 얻지 못하는 것 같습니다.

문제 : 다음 요약에 몇 개의 용어가 있습니까? 용어를 작성하십시오.$$ S = \sum _ { i = 1 } ^ 3 \sum _ { j = 1 } ^ 2 x _ i y _ j $$

해결책 : 6 가지 용어 :$$ x _ 1 y _ 1 + x _ 1 y _ 2 + x _ 2 y _ 1 + x _ 2 y _ 2 + x _ 3 y _ 1 + x _ 3 y _ 2 $$

Answer 1

우리는

\begin{align*} \color{blue}{S}&\color{blue}{=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^2x_iy_j}\\ &=\sum_{i=1}^3x_i\sum_{j=1}^2y_j\tag{1}\\ &=\sum_{i=1}^3x_i\left(y_1+y_2\right)\tag{2}\\ &=x_1\left(y_1+y_2\right)+x_2\left(y_1+y_2\right)+x_3\left(y_1+y_2\right)\tag{3}\\ &\,\,\color{blue}{=x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_2+x_3y_1+x_3y_2} \end{align*} 그리고 주장은 다음과 같습니다.

논평:

• (1)에서 우리는 $x_i$ 인덱스에 의존하지 않기 때문에 내부 합계에서 $j$.

• (2)에서 우리는 내부 합계를 확장합니다.

• (3)에서 우리는 외부 합계를 확장합니다.

• (4)에서 우리는 곱합니다.

Answer 2

인덱스의 각 값에 대한 내부 합계를 계산합니다. $i$외부 합계의. 따라서$i=1$ 그리고 계산 $\sum_{j=1}^2x_1y_j$, 즉 $x_1y_1+x_1y_2$. 그런 다음 증가$i$ ...에 $2$내부 합계를 다시 계산합니다. 이제는$\sum_{j=1}^2x_2y_j=x_2y_1+x_2y_2$. 마지막으로$i$ ...에 $3$ 한 번 더 수행하십시오. $\sum_{j=1}^2x_3y_j=x_3y_1+x_3y_2$. 표현식의 값은이 세 합계의 합계입니다.

$$x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_2+x_3y_1+x_3y_2\,.$$

그런 것에 익숙하다면 컴퓨터 프로그램이라고 생각할 수 있습니다. 각 합계는 사실상 for-next루프입니다.

S=0;
for i=1 to 3 do;
   for j=1 to 2 do;
      S=S+x(i)y(j);
   next j;
next i;