두 변수의 한계가 $0$

Question

나는 한계가있다

\begin{align} \lim_{(x,y) \rightarrow(0,0)} \frac{1-\cos(xy)}{\sqrt{x^2+y^2}(x^2+y^2)} \end{align}

먼저 Taylor를 사용했습니다. $$1-\cos(xy)=\frac{(xy)^2}{2} -\frac{(xy)^4}{4} + o((xy)^4)$$

따라서 한계는 $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{1}{2} \frac{x^2y^2}{\sqrt{x^2+y^2}(x^2+y^2)}$$

지금, $\frac{y^2}{x^2+y^2} \leq 1$, 따라서 나는

$$\left|\frac{1}{2} \frac{x^2y^2}{\sqrt{x^2+y^2}(x^2+y^2)}\right| \leq \left|\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \leq \frac{x^2}{|x|} = |x|$$

이후 $|x| \rightarrow 0 $ 같이 $(x,y) \rightarrow (0,0)$, 한도는 $0$, 맞습니까?

Answer 1

Taylor를 피하기 위해 우리는 그것을 사용할 수 있습니다.

$$\frac{1-\cos(xy)}{\sqrt{x^2+y^2}(x^2+y^2)}=\frac{1-\cos(xy)}{(xy)^2}\frac{(xy)^2}{\sqrt{x^2+y^2}(x^2+y^2)}$$

와 $\frac{1-\cos(xy)}{(xy)^2} \to \frac12$ 표준 한계로.

압착 정리에 의한 결론을 위해 우리는 또한 일부를 케이스로 간주해야합니다 $x=0$.