$\ell$-유한 필드의 adic 표현

Question

나는 최근에 "이론의 $p$-adic Galois Representations "는 Fontaine과 Ouyang에 의해 작성되었습니다. (이 책에 대한 링크는 다음과 같습니다. http://staff.ustc.edu.cn/~yiouyang/galoisrep.pdf)

허락하다 $K:=\mathbb{F}_q$ 유한 한 특성 장 $p$ 와 $q$집단. 대수적 마감 수정$\overline{K}$ 의 $K$, Galois 그룹을 나타냅니다. $\overline{K}/K$ 으로 $G_K$. 기하학적 Frobenius$\tau_K:\overline{K}\rightarrow \overline{K}$ 의 $G_K$ 이다 $x\mapsto x^{1/q}$. 만약$\rho:G_K\rightarrow \text{GL}(V)$ 유한 차원 연속 $\ell$-adic 표현 (이 의미 $V$ 유한 차원 $\mathbb{Q}_{\ell}$-벡터 공간), 우리는 $u:=\rho(\tau_K)$. 그러면 다음과 같은 제안이 있습니다.

제안. (책의 Prososition 1.10) 고유 값$u$ 모두에 $\mathbb{Z}_{\ell}^{\times}$. 반대로, 주어진$u\in \text{GL}(V)$, 연속적인 동형이 존재합니다 $\rho:G_K\rightarrow \text{GL}(V)$ 그런 $u=\rho(\tau_K)$ 모든 고유 값이 $u$ 에있다 $\mathbb{Z}_{\ell}^{\times}$.

저자는 그것이 쉽다고 말하지만 나는 이것을 증명하는 방법을 모릅니다.

핵심은 요소를 결정하는 방법이라고 생각합니다 $\rho(\tau_K^n)$ ...에 대한 $n\in \widehat{\mathbb{Z}}$. 책에서 그들은 쓴다$\rho(\tau_K^n)=\lim_{m\in \mathbb{Z}, m\mapsto n}u^m$,하지만 한계가 무엇을 의미하는지 이해할 수 없습니다.

Answer 1

그것은 제안이 말하는 것이 아닙니다. 고유 값이 단위라고 말합니다. 그들은 누워있을 필요가 없습니다$\mathbb{Q}_l$.

여기에 힌트가 있습니다. 역행렬의 경우$M$ 행동 $V$단위 가 아닌 고유 값을 가지고 있습니다.$M$, 고유 값이 있다고 가정 할 수 있습니다. $\lambda$ 와 $|\lambda| > 1$. 하지만$M^{n}$ 큰 $n$ 고유 값을 가질 것입니다 $\lambda^n$ 어디 $|\lambda^n|$ 점점 커지고 있습니다.

이제 이해해야합니다. $\widehat{\mathbb{Z}}$) 왜 연속성 $G_K \rightarrow \mathrm{GL}(V)$ 큰 적분이 있음을 의미합니다. $n$ 그런 $M^n$ 과 $M^0 = I$ 선형 맵을 원하는만큼 가깝고 이것은 고유 값을 배제합니다. $M^n$ 크다.