$f(xf(x)) = 2f(x)$
질문은 말한다
만족하는 모든 기능 찾기$$f(xf(x)) = 2f(x)$$.
방정식의 양변의 정도를 비교하면 쉽게 알 수 있습니다. $f$0이 아닌 다항식 또는 거듭 제곱 함수가 될 수 없습니다. 지금까지 찾은 함수 방정식을 만족시키는 함수는$f(x) =0$. 누구든지 나머지를 찾거나 내가 찾은 것이 단 하나임을 증명하는 방법을 보여줄 수 있습니까? 미리 감사드립니다.
답변
모든 연속 (매우 문자열 제한!) 솔루션을 찾아 보겠습니다 .$\Bbb R\to\Bbb R$ (많은 도구를 허용하는 도메인!).
와 $x=0$, 우리는 찾는다 $f(0)=0$.
만약 $f(x_0)=1$, 다음 $$2=2f(x_0)=f(x_0f(x_0))=f(x_0)=1,$$모순. 결론$f(x)\ne1 $ 모든 $x$.
만약 $y=f(x)$ 이미지에 $f$, 그럼 $2y=f(xf(x))$. 특히$f$ 양수 값을 얻은 다음 $f$위에서 제한되지 않습니다. 그러나 중간 가치 정리는$1$ 이미지에 $f$. 우리는$f(x)\le 0$ 모든 $x$.
그리고 만약 $f$ 음수 값을 얻은 다음 $f$아래에서 무제한입니다. 그때$f(x_1)=-\frac12$ 일부 $x_1$. 그때$$ f(-\tfrac12x_1)=f(x_1f(x_1))=2f(x_1)=-1.$$ IVT에 의해 다시 존재 $x_2$ 중에서 $0$ 과 $-\frac12x_1$ 와 $f(x_2)=-\frac12$. 이 과정을 반복함으로써 우리는 시퀀스를 얻습니다.$\{x_n\}$ 그런 $f(x_n)=-\frac 12$ 과 $|x_{n+1}|<\frac12|x_n|$즉, $x_n\to 0$. 같이$f(0)=0$, 이것은 연속성에 모순됩니다.
우리는 유일한 연속 솔루션이 $f\colon \Bbb R\to\Bbb R$ 사소한 해결책입니다.